Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn: $\ {x_1} + 2{x_2} = 1.$

Đề bài: Cho hàm số $\ y = \frac{1}{3}m{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + 3\left( {m - 2} \right)x + \frac{1}{3}.$ Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn: $\ {x_1} + 2{x_2} = 1.$
Giải:

Ta thấy hàm số đạt CĐ, CT khi và chỉ khi y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
$\  \Rightarrow m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0.$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3m\left( {m - 2} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\frac{{2 - \sqrt 6 }}{2} < m < \frac{{2 + \sqrt 6 }}{2}
\end{array} \right.\left( * \right).$
Giả sử hoành độ các cực trị là $\ {x_1};{x_2}.$ Áp dụng ĐL Viet và theo đề bài ra ta có:
$\ \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m - 1} \right)}}{m}\left( 1 \right)}\\
{{x_1}{x_2} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m}\left( 2 \right)}\\
{{x_1} + 2{x_2} = 1\left( 3 \right)}
\end{array}} \right.$
Từ (1) và (2) ta có: $\ \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} = \frac{{2 - m}}{m}}\\
{{x_2} = \frac{{3m - 4}}{m}}
\end{array}} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = \frac{{ - \left( {m - 2} \right)\left( {3m - 4} \right)}}{{{m^2}}} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{m} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 2\\
m = \frac{1}{3}
\end{array} \right.$
Ta được $\ {m = 2\& m = \frac{1}{3}}$ (Thỏa mãn (*))
                                         Vậy $\ {m = 2\& m = \frac{1}{3}}$ là các giá trị cần tìm.