Bài BĐT khá hay - Đề thi HSG THPT Hà Tỉnh.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ngân Tồ trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho x, y là 2 số thực dương thoả mãn: $\ x + y + 2 = 3\left( {\frac{{x - 1}}{y} + \frac{{y - 1}}{x}} \right).$
Tìm Min của $\ P = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {\frac{{{x^2}}}{{{y^4}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^4}}} - \frac{3}{{xy}}} \right).$
Giải:
Ta có: $\ P = {\left( {x - y} \right)^2}\left[ {{{\left( {\frac{x}{{{y^2}}} - \frac{y}{{{x^2}}}} \right)}^2} - \frac{1}{{xy}}} \right] = {\left[ {\left( {x - y} \right)\left( {\frac{x}{{{y^2}}} - \frac{y}{{{x^2}}}} \right)} \right]^2} - \frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{xy}}.$
$\  = {\left[ {{{\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)}^2} - \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) - 2} \right]^2} - \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2} \right) = {\left( {{t^2} - t - 2} \right)^2} - \left( {t - 2} \right) = {t^4} - 2{t^3} - 3{t^2} + 3t + 6 = g\left( t \right).$

Trong đó: $\ {t = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy}}{{xy}} = \frac{{{S^2}}}{P} - 2}.$
Mặt khác, theo giả thiết: $\ x + y + 2 = 3\left( {\frac{{x - 1}}{y} + \frac{{y - 1}}{x}} \right) \Leftrightarrow xy\left( {x + y + 2} \right) = 3\left[ {\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \left( {x + y} \right)} \right].$
$\  \Leftrightarrow xy\left( {x + y + 2} \right) = 3\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right) - 2xy} \right].$
$\  \Leftrightarrow P\left( {S + 2} \right) = 3\left( {{S^2} - S - 2P} \right) \Leftrightarrow PS + 2P = 3S\left( {S - 1} \right) - 6P.$
$\  \Leftrightarrow P = \frac{{3S\left( {S - 1} \right)}}{{S + 8}} \Rightarrow t + 2 = \frac{{{S^2}}}{P} = f\left( S \right) = \frac{{S\left( {S + 8} \right)}}{{3\left( {S - 1} \right)}}\left( {S > 0} \right) \Rightarrow f'\left( S \right) = 0 \Leftrightarrow S = 4 \Rightarrow t + 2 = f(S) \ge f(4) = \frac{{16}}{3}.$
$\  \Leftrightarrow t \ge \frac{{10}}{3} \Rightarrow {t^4} - 2{t^3} - 3{t^2} + 3t + 6 = g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 4{t^3} - 6{t^2} - 6t + 3 = 0.$
Đến đây các em có thể sử dụng máy tính Casio để nhẩm 3 nghiệm thấy không thoả mãn.
(Hoặc sử dụng tính liên tục của hàm đa thức và tính chất f(a).f(b)<0 thì f(x)=0 có nghiệm trong [a,b] để chứng minh)
$\  \Rightarrow MinP = Min\,g(t) = g\left( {\frac{{10}}{3}} \right) = \frac{{2596}}{{81}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 4\\
xy = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {1;3} \right),\left( {3;1} \right)} \right\}.$