Giải hệ PT sau $\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=9 \\ & \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y}} \right)\left( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)\left( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{y}} \right)=18 \\ \end{align} \right.\left( * \right)$

Đề bài: Giải hệ PT sau $\left\{ \begin{align}   & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=9 \\   & \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y}} \right)\left( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)\left( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{y}} \right)=18 \\  \end{align} \right.\left( * \right)$  

Giải:

Điều kiện: ${x \ne 0;y \ne 0}$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{y}}}\\ b = \frac{1}{{\sqrt[3]{{xy}}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} - 3ab = 9\\ a\left( {a + b + 1} \right) = 18 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} - 3ab = 9\\ ab = 18 - a - {a^2} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} + 3{a^2} + 3a - 63 = 0\\ ab = 18 - a - {a^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {a - 3} \right)\left( {{a^2} + 6a + 21} \right) = 0\\ ab = 18 - a - {a^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3\\ b = 2 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,;\,\frac{1}{\sqrt[3]{y}}$ là các nghiệm của PT:${X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\,;\,\frac{1}{{\sqrt[3]{y}}}} \right) = \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;\frac{1}{8}} \right)\\ \left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\,;\,\frac{1}{{\sqrt[3]{y}}}} \right) = \left( {2;1} \right) \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{8};1} \right) \end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của HPT là: $S=\left\{ \left( 1;\frac{1}{8} \right),\left( \frac{1}{8};1 \right) \right\}$