Một bài hình học giải tích Oxy khá hay - Khai bút đầu năm đây!

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Đình Long qua facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có D là trung điểm của AB.
Biết $\ I\left( {\frac{{11}}{3};\frac{5}{3}} \right);\,J\left( {\frac{{13}}{3};\frac{5}{3}} \right)$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ADC.
Biết M(3,−1)và N(-3,0) lần lượt thuộc CD ,AB .Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm A có tung độ dương.
Giải:
Bài toán gồm có 2 phần rất rõ ràng: Hình học phẳng thuần túy (cấp 2) - Hình học giải tích phẳng (cấp 3)
- Sử dụng PP hình học thuần túy, chứng minh yếu tố quan trọng nhất của bài toán: IJ vuông góc với CD

Ta gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta sẽ chứng minh: I là trực tâm tam giác DJG.

Gọi H, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AD. Khi đó: $\ {AH \bot BC\& DE//BC \Rightarrow AH \bot DE}.$
Mà $\ DE \equiv DJ\& AH \equiv AG \equiv IG \Rightarrow IG \bot DJ\left( 1 \right).$

Mặt khác, $\ \frac{{CJ}}{{CF}} = \frac{{CG}}{{CD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow JG//DF \equiv AB.$
Và ID là đường trung trực của AB nên: $\ DI \bot JG\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có: I là trực tâm tam giác DJG hay $\ IJ \bot CD.$

- Sử dụng PP hình học giải tích, tìm các yếu tố bài toán hỏi:
Do $\ \overrightarrow {IJ}  = \left( {\frac{2}{3};0} \right) \uparrow  \uparrow \left( {1;0} \right) = {\overrightarrow n _{CD}}\& N \in CD.$
$\  \Rightarrow CD:x - 3 = 0 \Rightarrow D \equiv N\left( {3; 0} \right).$
Gọi D(3;d) ta có: $\ ID \bot ND \Rightarrow \overrightarrow {ID} .\overrightarrow {ND}  = 0 \Leftrightarrow 3{d^2} - 5d - 12 = 0.$
+ TH1: Nếu $\ D\left( {3; - \frac{4}{3}} \right).$ Ta gọi A(a;b) và C(3;c) khi đó: $\ J\left( {\frac{{a + 3 + 3}}{3};\frac{{b + c - \frac{4}{3}}}{3}} \right) = J\left( {\frac{{13}}{3};\frac{5}{3}} \right) \Leftrightarrow a = 7;c = \frac{{19}}{3} - b.$
Do $\ 4A{D^2} = A{C^2} \Leftrightarrow 4\left[ {16 + {{\left( {b + \frac{4}{3}} \right)}^2}} \right] = 16 + {\left( {\frac{{19}}{3} - 2b} \right)^2}.$ (Đến đây bị loại do b<0).
+ TH2: Nếu D(3;3). Ta gọi A(a;b) và C(3;c) khi đó: $\ J\left( {\frac{{a + 3 + 3}}{3};\frac{{b + c - 3}}{3}} \right) = J\left( {\frac{{13}}{3};\frac{5}{3}} \right) \Leftrightarrow a = 7;c = 2 - b.$
Do $\ 4A{D^2} = A{C^2} \Leftrightarrow 4\left[ {16 + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \right] = 16 + {\left( {2 - 2b} \right)^2} \Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow A\left( {7;5} \right),B\left( { - 1;1} \right),C\left( {3; - 3} \right).$