Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x-y+1=0 và đường tròn $\ \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0.$Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến MA;MB đến đường tròn (C) ( với A,B là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ điểm$\ N\left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)$ đến AB là lớn nhất.
Giải:
$\ {M{A^2} = I{M^2} - {R^2}}.$
Gọi M(m+1;m) thuộc đường thẳng d. Khi đó:
$\ I{M^2} = {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m + 3} \right)^2} \Rightarrow M{A^2} = 2{m^2} + 4m + 1.$
$\ \left\{ \begin{array}{l}
A \in \left( {I,IA} \right) \cap \left( {M,MA} \right)\\
B \in \left( {I,IA} \right) \cap \left( {M,MA} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow AB = \left( {I,IA} \right) \cap \left( {M,MA} \right).$
Khi đó phương trình đường thẳng đi qua A,B thỏa mãn HPT sau:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\\
{\left( {x - m} \right)^2} + {\left( {y - m - 1} \right)^2} = 2{m^2} + 4m + 1
\end{array} \right.$
$\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\\
{x^2} + {y^2} - 2mx - 2\left( {m + 1} \right)y - 2m = 0
\end{array} \right.$
Trừ 2 PT cho nhau ta được $\ AB:2\left( {m - 1} \right)x + 2\left( {m + 3} \right) + 2\left( {m - 2} \right) = 0.$
$\ \Rightarrow d\left( {N \to AB} \right) = \frac{3}{2}\frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt {2{m^2} + 4m + 10} }} \Rightarrow {d^2}\left( {N \to AB} \right) = \frac{3}{2}.\frac{{{m^2} + 4m + 4}}{{2{m^2} + 4m + 10}} = \frac{3}{2}.P.$
$\ \frac{{{m^2} + 4m + 4}}{{2{m^2} + 4m + 10}} = P \Leftrightarrow \left( {2P - 1} \right){m^2} + 4\left( {P - 1} \right)m + 10A - 4 = 0.$
$\ \Rightarrow \exists m \Leftrightarrow \Delta ' = - 16{P^2} + 10P \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le P \le \frac{5}{8} \Leftrightarrow d\left( {N \to AB} \right) \le \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt {10} }}{4} = \frac{{3\sqrt {10} }}{8} \Leftrightarrow m = 3.$
Vậy điểm M(3;4) là điểm cần tìm.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét