Cho các số thực dương x, y, z. CMR: $\ \frac{{2{x^2} + xy}}{{{{\left( {y + \sqrt {zx} + z} \right)}^2}}} + \frac{{2{y^2} + yz}}{{{{\left( {z + \sqrt {xy} + x} \right)}^2}}} + \frac{{2{z^2} + zx}}{{{{\left( {x + \sqrt {yz} + y} \right)}^2}}} \ge 1.$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz cho 3 số ta có: $\ {\left( {y + \sqrt {zx} + z} \right)^2} = {\left( {\sqrt y .\sqrt y + \sqrt z .\sqrt x + \sqrt z .\sqrt z } \right)^2} \le \left( {x + y + z} \right)\left( {y + 2z} \right).$
$\ \Rightarrow \frac{{2{x^2} + xy}}{{{{\left( {y + \sqrt {zx} + z} \right)}^2}}} \ge \frac{{x\left( {2x + y} \right)}}{{\left( {x + y + z} \right)\left( {y + 2z} \right)}} = \frac{x}{{x + y + z}}.\frac{{2x + y}}{{y + 2z}} = \frac{x}{{x + y + z}}\left( {\frac{{2x + 2y + 2z}}{{y + 2z}} - 1} \right).$
$\ \Rightarrow \frac{{2{x^2} + xy}}{{{{\left( {y + \sqrt {zx} + z} \right)}^2}}} \ge \frac{{2x}}{{y + 2z}} - \frac{x}{{x + y + z}}.$ (1).
Chứng minh tương tự ta cũng có:
$\ \frac{{2{y^2} + yz}}{{{{\left( {z + \sqrt {xy} + x} \right)}^2}}} \ge \frac{{2y}}{{z + 2x}} - \frac{y}{{x + y + z}}\left( 2 \right);\frac{{2{z^2} + zx}}{{{{\left( {x + \sqrt {yz} + y} \right)}^2}}} \ge \frac{{2z}}{{x + 2y}} - \frac{z}{{x + y + z}}\left( 3 \right).$
Từ (1), (2) và (3) ta có:
$\ \frac{{2{x^2} + xy}}{{{{\left( {y + \sqrt {zx} + z} \right)}^2}}} + \frac{{2{y^2} + yz}}{{{{\left( {z + \sqrt {xy} + x} \right)}^2}}} + \frac{{2{z^2} + zx}}{{{{\left( {x + \sqrt {yz} + y} \right)}^2}}} \ge 2\left( {\frac{x}{{y + 2z}} + \frac{y}{{z + 2x}} + \frac{z}{{x + 2y}}} \right) - 1.$
Lại áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz lần nữa ta được:
$\ \begin{array}{l}
{\left( {x + y + z} \right)^2} = {\left[ {\sqrt {x\left( {y + 2z} \right)} .\frac{x}{{\sqrt {x\left( {y + 2z} \right)} }} + \sqrt {y\left( {z + 2x} \right)} .\frac{y}{{\sqrt {y\left( {z + 2x} \right)} }} + \sqrt {z\left( {x + 2y} \right)} .\frac{z}{{\sqrt {z\left( {x + 2y} \right)} }}} \right]^2}\\
\le \left[ {x\left( {y + 2z} \right) + y\left( {z + 2x} \right) + z\left( {x + 2y} \right)} \right].\left( {\frac{x}{{y + 2z}} + \frac{y}{{z + 2x}} + \frac{z}{{x + 2y}}} \right)\\
= 3\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {\frac{x}{{y + 2z}} + \frac{y}{{z + 2x}} + \frac{z}{{x + 2y}}} \right) \Rightarrow \left( {\frac{x}{{y + 2z}} + \frac{y}{{z + 2x}} + \frac{z}{{x + 2y}}} \right) \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{3\left( {xy + yz + zx} \right)}}\\
{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right) \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right) \Rightarrow \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{3\left( {xy + yz + zx} \right)}} \ge 1
\end{array}.$
$\ \Rightarrow \frac{{2{x^2} + xy}}{{{{\left( {y + \sqrt {zx} + z} \right)}^2}}} + \frac{{2{y^2} + yz}}{{{{\left( {z + \sqrt {xy} + x} \right)}^2}}} + \frac{{2{z^2} + zx}}{{{{\left( {x + \sqrt {yz} + y} \right)}^2}}} \ge 2 - 1 = 1 \Rightarrow $ ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét