Bài Bất Đẳng Thức Dành Cho Các Bạn Khối A, A1, B đây!

Đề bài: (Trích đề thi thử lần I - THPT Chu Văn An - Hà Nội - Khối A,A1,B - 23/02/2014)
Cho các số thực x và y thỏa mãn: $\ x + y = 2\sqrt {x + 2}  + 3\sqrt {y - 2014}  + 2012.$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $\ S = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{{2015 + 2xy\sqrt {x + y + 1} }}{{\sqrt {x + y + 1} }}.$
Giải:
Thầy sẽ có thêm bước suy luận để bài toán có căn cứ hơn, tự nhiên hơn và dễ hiểu hơn.
- Suy luận: Nhìn nhận cả ở biểu thức đã cho và đẳng thức giả thiết các em sẽ thấy cặp (x+y) đi liền với nhau. Các em sẽ nghĩ ngay đến việc đặt biến phụ t = x + y + C (C là hằng số).
Tuy nhiên vế phải của đẳng thức đã cho khá phức tạp (Đều có căn bậc hai). Đến đây ta có một mấu chốt như sau: "Sử dụng Côsi sao cho hệ số của x và y phải như nhau". Để đảm bảo cặp (x+y) đi với nhau.
- Dùng hệ số bất định, đi tìm "sự thật":
Giả sử tồn tại 2 số thực dương$\ \alpha ;\beta :\,x + y = \frac{1}{{\sqrt \alpha  }}2\sqrt {\alpha \left( {x + 2} \right)}  + \frac{3}{{2\sqrt \beta  }}2\sqrt {\beta \left( {y - 2014} \right)}  + 2012.$
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số ta có: $\ \alpha ;\beta :\,x + y \le \frac{{x + \alpha  + 2}}{{\sqrt \alpha  }} + \frac{{3\left( {y + \beta  - 2014} \right)}}{{2\sqrt \beta  }} + 2012.$
Để hệ số của x và y bằng nhau thì: $\ \frac{1}{{\sqrt \alpha  }} = \frac{3}{{2\sqrt \beta  }} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{\alpha }{\beta }}  = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta } = \frac{4}{9}.$
Ta chọn ngay $\ \left( {\alpha ;\beta } \right) = \left( {4;9} \right).$ Và ta có lời giải.

- Giải:
$\ \begin{array}{l} \;\left\{ \begin{array}{l} x + y \le \frac{{x + 6}}{2} + \frac{{y - 2005}}{2} + 2012 = \frac{{x + y + 2025}}{2} \Leftrightarrow x + y \le 2025\\ x + y = 2\sqrt {x + 2}  + 3\sqrt {y - 2014}  + 2012 \ge 2012 \end{array} \right. \Leftrightarrow 2013 \le x + y + 1 \le 2026.\\ \;\begin{array}{*{20}{l}} {S = {x^2} + {y^2} - 2\left( {x + y} \right) + 2 + \frac{{2015}}{{\sqrt {x + y + 1} }} + 2xy = {{\left( {x + y} \right)}^2} - 2\left( {x + y} \right) + 1 + \frac{{2015}}{{\sqrt {x + y + 1} }} + 1}\\ \begin{array}{l}  = {\left( {x + y - 1} \right)^2} + \frac{{2015}}{{\sqrt {x + y + 1} }} + 1 = {\left( {{t^2} - 2} \right)^2} + \frac{{2015}}{t} + 1 = f\left( t \right);{\mkern 1mu} t \in \left[ {\sqrt {2013} ;\sqrt {2026} } \right]\\  \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{4{t^3}\left( {{t^2} - 2} \right) - 2015}}{{{t^2}}};t \in \left[ {\sqrt {2013} ;\sqrt {2026} } \right]\\ g\left( t \right) = 4{t^3}\left( {{t^2} - 2} \right) - 2015 \Rightarrow g'\left( t \right) = 4{t^2}\left( {5{t^2} - 6} \right) > 0,\,\forall t \in \left[ {\sqrt {2013} ;\sqrt {2026} } \right]\\  \Rightarrow g\left( t \right) > g\left( {\sqrt {2013} } \right) > 0 \Rightarrow f'\left( t \right) > 0,\,\forall t \in \left[ {\sqrt {2013} ;\sqrt {2026} } \right]\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} Min\,S = f\left( {\sqrt {2013} } \right) = {2011^2} + 1 + \frac{{2015}}{{\sqrt {2013} }} \Leftrightarrow x =  - 2;\,y = 2014\\ Max\,S = f\left( {\sqrt {2026} } \right) = {2024^2} + 1 + \frac{{2015}}{{\sqrt {2026} }} \Leftrightarrow x = 2;\,y = 2023 \end{array} \right.\, \end{array} \end{array} \end{array}.$