Cấp số cộng.

Đề bài (Câu hỏi của bạn Lương Xuân Sơn trên Facebook)
4 số nguyên dương lập thành 1 cấp số cộng. Biết tổng các số đó là 20 và tổng các nghịch đảo của các số là 25/24. Xác định cấp số cộng đó. Thầy Trợ Giúp Toán Học giúp em bài này với!
Giải:
Gọi 4 số của cấp số cộng đó là: x-3d; x-d; x+d và x+3d (công sai 2d)
Theo đề bài ta có:$\ 4x = 20\& \frac{1}{{x - 3d}} + \frac{1}{{x - d}} + \frac{1}{{x + d}} + \frac{1}{{x + 3d}} = \frac{{25}}{{24}}.$
$\  \Leftrightarrow x = 5\& \frac{1}{{25 - 9{d^2}}} + \frac{1}{{25 - {d^2}}} = \frac{5}{{48}}\left( * \right).$
Xét (*) ta có: $\ \frac{{50 - 10{d^2}}}{{\left( {25 - 9{d^2}} \right)\left( {25 - {d^2}} \right)}} = \frac{5}{{48}} \Leftrightarrow 48\left( {10 - 2{d^2}} \right) = \left( {25 - 9{d^2}} \right)\left( {25 - {d^2}} \right).$
$\  \Leftrightarrow 480 - 96{d^2} = 625 - 250{d^2} + 9{d^4} \Leftrightarrow 9{d^4} - 154{d^2} + 145 = 0 \Leftrightarrow d = 1.$

Vậy cấp số là $\  \div \,\,\,2;\,4;\,6;\,8.$

Bình luận: Thực ra bài này các bạn cho thể làm như thông thường vẫn ra.

Có điều ai đó sẽ thắc mắc tại sao công sai lại là 2d.

Thầy xin giải thích như sau:

- Thứ nhất nếu sử dụng 2d thì ta làm xuất hiện 2 thằng tổng và hiệu là: [x-3d; x+3d] và [x-d; x+d].

- Thứ hai: Ta phải chứng minh công sai của cấp số này chẵn (dạng d=2k)

Thật vậy, nếu gọi là x, x+d, x+2d và x+3d thì ta có: 4x+6d=20 hay 2x+3d=10

2x chẵn, 10 chẵn vậy 3d chẵn hay d chẵn (dạng 2k). ổn rồi.

Cho (x;y) là nghiệm của BPT $\ 5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0.$ Tìm Max của: F = x + 3y.

Đề bài (Câu hỏi của bạn Đừngđùa Anhđanghọc trên Facebook Học 24/7)
Cho (x;y) là nghiệm của BPT $\ 5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0.$ Tìm Max của: F = x + 3y.
Giải:

Ta có: $\ BPT \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{{10}}.$

Tìm Max của: $\ P = \frac{1}{{2a + b + 6}} + \frac{1}{{2b + c + 6}} + \frac{1}{{2c + a + 6}}.$

Đề bài (Câu hỏi của bạn Hoàng Đức Long trên Facebook Học 24/7)
Cho$\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
abc = 8
\end{array} \right.$.  Tìm Max của: $\ P = \frac{1}{{2a + b + 6}} + \frac{1}{{2b + c + 6}} + \frac{1}{{2c + a + 6}}.$
Giải: Áp dụng BĐT $\ \frac{1}{{x + y + z}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)$ ta có:
$\ P = \frac{1}{{\left( {a + 2} \right) + \left( {a + 2} \right) + \left( {b + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {b + 2} \right) + \left( {b + 2} \right) + \left( {c + 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {c + 2} \right) + \left( {c + 2} \right) + \left( {a + 2} \right)}}$
$\  \le \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{{c + 2}} + \frac{1}{{a + 2}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right).$

Giải chi tiết đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013.

ĐÁP ÁN

Câu 1.2 (2,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 2 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 3 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 4 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 5 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 6 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
-----------------------------------------
Câu 7.a (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 8.a (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 9.a (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
-----------------------------------------
Câu 7.b (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 8.b (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 9.b (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
                     

 (Hẹn gặp lại các bạn ở Đề thi thử số 5 - THTT số439 - Tháng 01/2014...)

Câu 9.b (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 9.b Theo đề bài ta có tọa độ của A, B, C, D trên mặt phẳng phức lần lượt là:
$\ A\left( {4; - 3 - \sqrt 3 } \right),\,B\left( {2; - 3 - \sqrt 3 } \right),\,C\left( {1; - 3} \right),\,D\left( {3; - 1} \right).$

Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {BD}  = \left( {1;2 + \sqrt 3 } \right)\\
\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1;\sqrt 3 } \right)
\end{array} \right. \Rightarrow cos\widehat {\,CBD} = \frac{{\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{2\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}.$
Và: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AD}  = \left( { - 1;2 + \sqrt 3 } \right)\\
\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;\sqrt 3 } \right)
\end{array} \right. \Rightarrow cos\widehat {\,CAD} = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{{2\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}.$
$\  \Rightarrow \widehat {\,CBD} = \widehat {\,CAD} \Rightarrow $ Tứ giác ABCD nội tiếp

(Hai góc cùng chắn 1 cung)

Câu 8.b (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 8.b Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;0; - 1} \right)\\
{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2;1; - 2} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} .{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = 0.$ Mà $\ A \notin \left( P \right) \Rightarrow AB\,\,//\,\left( P \right).$

Gọi d là đường thẳng nằm trong (P) và d//AB.
Gọi M thuộc d và N là điểm bất kỳ thuộc (P) không thuộc d.
Dựng $\ MH \bot AB\left( {H \in AB} \right) \Rightarrow MH \bot \left( P \right).$
$\  \Rightarrow MH \bot MN \Rightarrow NH \ge MH.$

Câu 7.b (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 7.b Giả sử đỉnh A thuộc d: 3x + 4y + 20 = 0 hay $\ d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 4t\\
y =  - 3t - 5
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {4t; - 3t - 5} \right).$

Câu 9.a (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 9.a Gọi số có 6 chữ số cần tìm là $\ \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} ,\,\,\left( {{a_i} \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},i = \overline {1,6} } \right).$
Theo đề bài ta có thể có 3 trường hợp sau:
- TH 1: $\ {a_6} = 0 \Rightarrow \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) + \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 15\& \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 3.$

$\  \Leftrightarrow {a_1} + {a_2} + {a_3} = 9\& {a_4} + {a_5} = 6.$Khi đó ta có 2 khả năng:

 

Câu 8.a (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 8.a 

Gọi M là trung điểm của BC ta thấy:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
AM \bot BC\\
{A_1}M \bot BC\\
\left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{A_1}} \right) = BC
\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {ABC} \right);\left( {BC{A_1}} \right)}} \right) = \widehat {AM{A_1}}.$

Câu 7.a (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 7.a

Ý tưởng làm bài toán này không hề khó, thầy gợi ý như sau:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta thấy:
$\ S = p.r \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{M{F_1}.M{F_2}}}{{M{F_1} + MF + {F_1}{F_2}_2}} = \frac{{\left( {a + \frac{{c{x_M}}}{a}} \right)\left( {a - \frac{{c{x_M}}}{a}} \right)}}{{2\left( {a + c} \right)}} = \frac{{{a^4} - {c^2}x_M^2}}{{2{a^2}\left( {a + c} \right)}}.$

Câu 5 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 5. Gọi$\ \left\{ \begin{array}{l}
MN \cap BC = S\\
MN \cap AB = T
\end{array} \right.;\,\left\{ \begin{array}{l}
SP \cap C{C_1} = Q\\
TP \cap A{A_1} = R
\end{array} \right.$

Vậy thiết diện là ngũ giác: MNQPR.
       

Câu 4 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 4. Ta có: \[\frac{{{5}^{\frac{x}{2}}}}{\left( {{5}^{x}}-9 \right)\sqrt{6-{{5}^{1-x}}}}=\frac{{{5}^{x}}}{\left( {{5}^{x}}-9 \right)\sqrt{{{6.5}^{x}}-5}}\] .

Câu 3 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 3. Giả sử: ${{x}^{3}}+12{{y}^{2}}+x+2=8{{y}^{3}}+8y\Leftrightarrow {{x}^{3}}+x={{\left( ay+b \right)}^{3}}+\left( ay+b \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
  & a=2 \\
 & b=-1 \\
\end{align} \right.$

Câu 2 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 2. Điều kiện:$x\ne k\pi \left( k\in Z \right)$
$\ \begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 3\,co{s^2}x + 2\sqrt 2 {\sin ^4}x = \left( {2 + 3\sqrt 2 } \right)\cos x{\sin ^2}x\\
 \Leftrightarrow 3cos\,x\left( {cos\,x - \sqrt 2 {{\sin }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x\left( {cos\,x - \sqrt 2 {{\sin }^2}x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {cos\,x - \sqrt 2 {{\sin }^2}x} \right)\left( {3cos\,x - 2{{\sin }^2}x} \right) = 0
\end{array}.$

Câu 1.2 (Đề thi thử ĐH số 4 - Báo THTT số 438 tháng 12/2013)

Câu 1.2  Ta có: $y'=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow $PT tiếp tuyến tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ có dạng:

Chữa đề thi HSG Thành Phố Hà Nội - Ngày thi 03/10/2013.

Bài 1: Cho hàm số $\ y = {x^3} - 3x + 4$ có đồ thị (C).
         a) Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm $\ I\left( { - \frac{1}{2};2} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng MN.
         b) Cho 3 điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại các điểm thứ hai lần lượt là A', B', C'. Chứng minh rằng: Nếu A, B, C thẳng hàng thì A', B', C' cũng thẳng hàng.
Giải:
 a) Gọi tọa độ các điểm M và N thuộc (C) lần lượt là: $\ M\left( {{x_1};x_1^3 - 3{x_1} + 4} \right),\,\,N\left( {{x_2};x_2^3 - 3{x_2} + 4} \right).$

Đề cương học kỳ I Toán lớp 10 - THPT chuyên Amsterdam.

DÀNH CHO NHỮNG BẠN MỚI HỌC BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1. Cho các số thự a,b,c. CMR:$\frac{1}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+abc}+\frac{1}{{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+abc}+\frac{1}{{{c}^{3}}+{{a}^{3}}+abc}\le \frac{1}{abc}.$
Giải:
Ta có: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+abc=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab \right)+abc\ge ab\left( a+b \right)+abc=ab\left( a+b+c \right)$
$\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+abc}\le \frac{1}{ab\left( a+b+c \right)}$.

15 điều phim Hàn Quốc lừa dối bạn.

Đây là 15 điều mà hầu hết phim Hàn Quốc nào cũng có - 15 điều phim Hàn Quốc lừa dối bạn

1.    Tất cả mọi người đều giàu có. Nếu bạn không giàu có thì sau này bạn cũng sẽ có một anh/cô giàu có nào đó yêu thôi..

Bài xác suất - Ôn thi học kỳ I.

Đề bài: Một hộp có 5 tấm thẻ, các thẻ đó được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 tấm thẻ.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Gọi A là biến cố: "Tổng các số trên 3 tấm thẻ bằng 8". B là biến cố "Các số trên 3 tấm thẻ là 3 số tự nhiên liên tiếp". Xác định biến cố A, B. Tính P(A), P(B)?
Giải:
a) Vì thẻ được đánh số khác nhau nên ta thấy số cách rút được bộ 3 thẻ chính là số các số có 3 chữ số được lấy từ các số từ 1 đến 5. Nên: $\ N\left( \Omega  \right) = C_5^3 = 10.$
b) $\ \;A = \left\{ {\left( {a,b,c} \right):\,{\kern 1pt} a + b + c = 8|a,b,c \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}} \right\}.$
    $\ \;B = \left\{ {\left( {a,b,c} \right):\,{\kern 1pt} a + b + c = \frac{3}{2}\left( {Max\left\{ {a,b,c} \right\} + Min\left\{ {a,b,c} \right\}} \right)\,\,|\,\,a,b,c \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}} \right\}.$

Chữa đề cương phần HHKG - Lớp 11 - THPT Vân Nội - Đông Anh - Hà Nội.

Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và AC, M là điểm thay đổi trên cạnh AD.
a) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng: (MIJ) và (ABD).
b) Gọi N là giao điểm của BD với (MIJ), K là giao điểm của IN và JM.
CMR: Khi M thay đổi trên cạnh AD thì K luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

Giải:

a) Ta có: $\ AB \subset \left( {ABD} \right);\,IJ \subset \left( {MIJ} \right).$ 

Và AB//IJ; $\ M \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {MIJ} \right).$

$\  \Rightarrow \;\left( {ABD} \right) \cap \left( {MIJ} \right) = MN//AB//IJ\left( {N \in BD} \right).$

b) Tìm quỹ tích điểm M.