Kiến thức căn bản:
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu như sau:
- Với hai bộ số thực bất kì $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},..{{a}_{n}} \right)$và $\left( {{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}} \right)$ta có:
$\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right)\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)\ge {{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}$(*)
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\dfrac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$
- Với n = 2, ta có:
Nếu a, b, x, y là các số thực, thì: $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( ax+by \right)}^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$
- Với n = 3, ta có:
Nếu a, b, c, x, y, z là các số thực, thì: $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\ge {{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$
Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: $Cho\,a,b,c > 0.\,\,CMR:\,\dfrac{{{a^2}}}{{b + 3c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + 3a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + 3b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{4}$
