Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n, biết số tam giác có 3 đỉnh từ n+6 điểm đã cho là 439.
Giải:
Có tất cả n+6 điểm mà cứ 3 điểm bất kỳ lập thành một tam giác nên ta có thể có tất cả: $C_{n + 6}^3$ tam giác.
Tuy nhiên trong số n+6 điểm này có những điểm cùng nằm trên một cạnh của hình vuông (nghĩa là thẳng hàng) thì sẽ không tạo thành tam giác. Bởi vậy ta phải loại bớt những "tam giác suy biến" này.
Số tam giác suy biến chỉ xuất hiện trên cạnh nào có từ 3 điểm trở lên nên chúng có: $C_n^3 + 1$ tam giác.
Vậy số tam giác thoả mãn là: $C_{n + 6}^3 - \left( {C_n^3 + 1} \right)$
$\begin{array}{l}
C_{n + 6}^3 - \left( {C_n^3 + 1} \right) = 439 \Leftrightarrow C_{n + 6}^3 - C_n^3 = 440 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\left( {n + 5} \right)\left( {n + 4} \right)}}{6} - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 440\\
\Leftrightarrow \left( {{n^3} + 15{n^2} + 74n + 120} \right) - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 2n} \right) = 2640 \Leftrightarrow {n^2} + 4n - 140 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 10\left( {t/m} \right)\\
n = - 14 < 0
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy trên cạnh AD có 10 điểm thoả mãn.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét