Cho đường tròn (C) có phương trình ${x^2} + {y^2} = 8.$Viết PT chính tắc của elip (E). Biết (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại 4 điểm lập thành một hình vuông.
Giải:
Nhận xét: (C) và (E) đều nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng nên nếu (C) cắt (E) tại 4 điểm phân biệt lập thành hình vuông ABCD thì O cũng chính là tâm của ABCD. Ta có:
$\begin{array}{l}
d\left( {O \to AB} \right) = \dfrac{{OB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{R}{{\sqrt 2 }} = 2\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB:y = 2\\
CD:y = - 2
\end{array} \right.\\
\Rightarrow AB \cap \left( C \right) = A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\\
:\left\{ \begin{array}{l}
{y_A} = 2\\
x_A^2 + y_A^2 = 8\\
{x_A} > 0,\,{y_A} > 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;2} \right)\\
Coi\,\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a,b > 0} \right)\\
Do\,A \in \left( E \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1\\
2a = 8
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 4\\
b = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right. \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{3{y^2}}}{{16}} = 1
\end{array}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét