Đề bài: (Câu hỏi của bạn Anh Xuân hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = \sqrt[3]{{x\left( {2x + 1} \right)}}\,\,(1)\,\,\\
3{x^2} - x + \dfrac{1}{2} = y\sqrt {{x^2} + x} \,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$
Giải:
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
x\left( {x + 1} \right) > 0\\
y > 0
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
(2) \Leftrightarrow 6{x^2} - 2x + 1 = 2y\sqrt {{x^2} + x} \mathop \le \limits^{Cauchy} {x^2} + {y^2} + x \Leftrightarrow {y^2} \ge 5{x^2} - 3x + 1\\
(1) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = \sqrt[3]{{x\left( {2x + 1} \right)}} = \sqrt[3]{{1.2x.\dfrac{{2x + 1}}{2}}}\mathop \le \limits^{Cauchy} \dfrac{{2x + 1 + \dfrac{{2x + 1}}{2}}}{3} = x + \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 5{x^2} - 3x + 1 \le {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \le x + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 6{x^2} - 5x + 2 \le x + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 0\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{2}\\
y = \sqrt {{x^2} + x} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right\}
\end{array}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét