Khi Bất Đẳng Thức "len lỏi" vào Hình Không Gian.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Đào Hoa Anh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABC có SA=x, BC=y. Các cạnh còn lại đều bằng 1. Với giá trị nào của x,y thì thể tích hình chóp S.ABC đạt GTLN?
Giải:

$\begin{array}{l}
 \bullet \,Coi\,M \in BC\,\& \,MB = MC\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MB = MC\\
AB = AC = 1
\end{array} \right. \Rightarrow AM \bot BC\left( 1 \right)\\
\& \left\{ \begin{array}{l}
MB = MC\\
SB = SC = 1
\end{array} \right. \Rightarrow SM \bot BC\left( 2 \right)\\
 \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\left( {Do\,(1)\& (2)} \right)
\end{array}.$

$\begin{array}{l}
 \bullet \,Do\,\Delta SBC = \Delta ABC\left( {c - c - c} \right)\\
 \Rightarrow AM = SM = \sqrt {1 - \dfrac{{{y^2}}}{4}} \\
Coi\,N \in SA\& NS = NA\\
 \Rightarrow MN = \sqrt {S{M^2} - S{N^2}}  = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \\
 \Rightarrow {S_{\Delta SMA}} = \dfrac{1}{2}SA.MN = \dfrac{x}{2}\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}}
\end{array}.$
$\begin{array}{l}
 \bullet Do\left\{ \begin{array}{l}
\,{V_{S.ABC}} = {V_{B.SAC}}\\
\dfrac{{{V_{B.SAM}}}}{{{V_{B.SAC}}}} = \dfrac{{BS}}{{BS}}.\dfrac{{BA}}{{BA}}.\dfrac{{BM}}{{BC}} = 1.1.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{B.SAM}}\\
{V_{S.ABC}} = \dfrac{2}{3}BM.{S_{SAM}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{y}{2}.\dfrac{x}{2}\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}}  = \dfrac{{xy}}{6}\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}} \\
\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\mathop  \ge \limits^{Cauchy} xy \Rightarrow {V_{S.ABC}} \le \dfrac{{xy}}{6}\sqrt {1 - xy}  = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}\sqrt {xy.xy\left( {2 - 2xy} \right)} \mathop  \le \limits^{Cauchy} \dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}.\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2xy + 2 - 2xy}}{3}} \right)}^3}} \\
 \Rightarrow Max\,{V_{S.ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{27}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
xy = 2 - 2xy\\
x,y > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}
\end{array}.$