Cho hàm số ${y = \dfrac{{{x^2} - 2mx + m + 2}}{{x + 1}}}$ Tìm m để: ${\dfrac{{{y_{max}}}}{{{x_{min}}}} + \dfrac{{{y_{min}}}}{{{x_{max}}}} = 4}$
Giải:
Trên tập xác định của hàm số thì các cực trị của hàm số chính là GTLN và GTNN của hàm số.
Hoành độ các cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình:
$y' = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} + 2x - 3m - 2 = 0.\,\,\exists {x_{min}},\,{x_{max}} \Leftrightarrow {{\Delta '}_g} > 0 \Leftrightarrow m > - 1\left( * \right).$
Ta xét bổ đề sau: Nếu ${f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\& \left\{ \begin{array}{l}
f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\
v\left( {{x_0}} \right) \ne 0
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{u'\left( {{x_0}} \right)}}{{v'\left( {{x_0}} \right)}}}.$
Chứng minh: $Do\,f'\left( x \right) = {\left[ {\dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}} \right]^\prime } = \dfrac{{u'\left( x \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}}.$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow u'\left( {{x_0}} \right)v\left( {{x_0}} \right) - u\left( {{x_0}} \right)v'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{u\left( {{x_0}} \right)}}{{v\left( {{x_0}} \right)}} = \dfrac{{u'\left( {{x_0}} \right)}}{{v'\left( {{x_0}} \right)}}\\
Coi\,\left\{ \begin{array}{l}
{x_{max}} = {x_1} \Rightarrow {y_{max}} = f\left( {{x_1}} \right) = 2{x_1} - 2m\\
{x_{min}} = {x_2} \Rightarrow {y_{min}} = f\left( {{x_2}} \right) = 2{x_2} - 2m
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{y_{max}}}}{{{x_{min}}}} + \dfrac{{{y_{min}}}}{{{x_{max}}}} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{2{x_1} - 2m}}{{{x_2}}} + \dfrac{{2{x_2} - 2m}}{{{x_1}}} = 4\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} - m}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2} - m}}{{{x_1}}} = 2 \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2{x_1}{x_2} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} = 0\\
Theo\,\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - 2\\
{x_1}{x_2} = - 3m - 2
\end{array} \right. \Rightarrow 4 + 4m + 4\left( {3m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{3}{4}\left( {t/m\,(*)} \right) \Rightarrow m = - \dfrac{3}{4}
\end{array}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét