Cho hàm số {y = \dfrac{{{x^2} - 2mx + m + 2}}{{x + 1}}} Tìm m để: {\dfrac{{{y_{max}}}}{{{x_{min}}}} + \dfrac{{{y_{min}}}}{{{x_{max}}}} = 4}
Giải:
Trên tập xác định của hàm số thì các cực trị của hàm số chính là GTLN và GTNN của hàm số.
Hoành độ các cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình:
y' = 0 \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} + 2x - 3m - 2 = 0.\,\,\exists {x_{min}},\,{x_{max}} \Leftrightarrow {{\Delta '}_g} > 0 \Leftrightarrow m > - 1\left( * \right).
Ta xét bổ đề sau: Nếu {f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\& \left\{ \begin{array}{l} f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\ v\left( {{x_0}} \right) \ne 0 \end{array} \right. \Rightarrow f\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{u'\left( {{x_0}} \right)}}{{v'\left( {{x_0}} \right)}}}.
Chứng minh: Do\,f'\left( x \right) = {\left[ {\dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}} \right]^\prime } = \dfrac{{u'\left( x \right)v\left( x \right) - u\left( x \right)v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}}.
\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow u'\left( {{x_0}} \right)v\left( {{x_0}} \right) - u\left( {{x_0}} \right)v'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{u\left( {{x_0}} \right)}}{{v\left( {{x_0}} \right)}} = \dfrac{{u'\left( {{x_0}} \right)}}{{v'\left( {{x_0}} \right)}}\\ Coi\,\left\{ \begin{array}{l} {x_{max}} = {x_1} \Rightarrow {y_{max}} = f\left( {{x_1}} \right) = 2{x_1} - 2m\\ {x_{min}} = {x_2} \Rightarrow {y_{min}} = f\left( {{x_2}} \right) = 2{x_2} - 2m \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{y_{max}}}}{{{x_{min}}}} + \dfrac{{{y_{min}}}}{{{x_{max}}}} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{2{x_1} - 2m}}{{{x_2}}} + \dfrac{{2{x_2} - 2m}}{{{x_1}}} = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1} - m}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2} - m}}{{{x_1}}} = 2 \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2{x_1}{x_2} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} = 0\\ Theo\,\,Viet:\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - 2\\ {x_1}{x_2} = - 3m - 2 \end{array} \right. \Rightarrow 4 + 4m + 4\left( {3m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - \dfrac{3}{4}\left( {t/m\,(*)} \right) \Rightarrow m = - \dfrac{3}{4} \end{array}.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét