$Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
a,b \ge 0\\
x > y > 0
\end{array} \right..\,\,CMR:\,\,{\left( {{a^x} + {b^x}} \right)^{\dfrac{1}{x}}} \le {\left( {{a^y} + {b^y}} \right)^{\dfrac{1}{y}}}.$
Giải:
- Với a=0 và b=0 thì Bất đẳng thức luôn đúng.
- Không mất tính tổng quát, giả sử $0 < a \le b \Rightarrow 0 < \dfrac{a}{b} \le 1.$
$\Rightarrow 0 < {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^x} \le {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^y} \Leftrightarrow 1 + {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^x} \le 1 + {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^y} \Leftrightarrow {\left[ {1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\dfrac{1}{y}}} \le {\left[ {1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^y}} \right]^{\dfrac{1}{y}}}\left( 1 \right).$
\[Do\,1 + {\left( {\frac{a}{b}} \right)^x} > 1;\,0 < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{y} \Rightarrow {\left[ {1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\dfrac{1}{x}}} \le {\left[ {1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\dfrac{1}{y}}}(2)\]
\[Do\left( 1 \right)\& \left( 2 \right) \Rightarrow {\left[ {1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\dfrac{1}{x}}} \le {\left[ {1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^x}} \right]^{\frac{1}{y}}} \le {\left[ {1 + {{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^y}} \right]^{\dfrac{1}{y}}}\]
$ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{a^x} + {b^x}}}{{{b^x}}}} \right)^{\dfrac{1}{x}}} \le {\left( {\dfrac{{{a^y} + {b^y}}}{{{b^y}}}} \right)^{\dfrac{1}{y}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{a^x} + {b^x}} \right)}^{\dfrac{1}{x}}}}}{b} \le \dfrac{{{{\left( {{a^y} + {b^y}} \right)}^{\dfrac{1}{y}}}}}{b} \Leftrightarrow {\left( {{a^x} + {b^x}} \right)^{\dfrac{1}{x}}} \le {\left( {{a^y} + {b^y}} \right)^{\dfrac{1}{y}}}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét