Linh hoạt khi vận dụng BĐT Cauchy

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Tiến Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
${Cho\,\left\{ \begin{array}{l} a,bc > 0\\ a + b + c = 1 \end{array} \right..\,Max\,P = \dfrac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \dfrac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }} + \dfrac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} = ?}.$
Giải:

$\begin{array}{l} Do\,\sqrt {a + bc}  = \sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc}  = \sqrt {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)}  = \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \\  \Rightarrow 2P = \dfrac{{2bc}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \dfrac{{2ca}}{{\sqrt {\left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right)} }} + \dfrac{{2ab}}{{\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} }}\\  \Rightarrow 2P \le bc\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right) + ca\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) + ab\left( {\dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{{b + c}}} \right)\\  = \dfrac{{bc}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{a + c}} + \dfrac{{ca}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{a + b}} + \dfrac{{ab}}{{a + c}} + \dfrac{{ab}}{{b + c}} = \dfrac{{bc + ca}}{{a + b}} + \dfrac{{ca + ab}}{{b + c}} + \dfrac{{bc + ab}}{{c + a}}\\  = \dfrac{{c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} + \dfrac{{a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \dfrac{{b\left( {c + a} \right)}}{{c + a}} = a + b + c = 1 \Rightarrow P \le \dfrac{1}{2}\\  \Rightarrow Max\,P = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{a + b}} = \dfrac{1}{{b + c}} = \dfrac{1}{{c + a}} \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3} \end{array}.$