Trên đoạn AD cố định, dựng hình bình hành ABCD sao cho$\dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}.$ Tìm quỹ tích điểm C của hình bình hành.
Giải:
Coi\,\left\{ \begin{array}{l}
A \equiv O\left( {0;0} \right)\\
AD \equiv Ox\& D\left( {1;0} \right)\\
B\left( {x;y} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow C\left( {x + 1;y} \right).\,Do\,\dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\\
\Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} .\sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \\
\Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2} + {x^2}{y^2} + {y^2}{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^4} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 2x + 1} \right) = {x^2} + {y^2} - 2x + 1\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 2x} \right) = - 2x + 1\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 2x} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} + 2x} \right) = 1 - 2x\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 2x} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = 0
\end{array}.$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + 2x} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 1 = 0\left( {Do\,{x^2} + {y^2} + 1 > 0\,} \right)\\
\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 2 \Rightarrow B \in \left( {I;AD\sqrt 2 } \right),\,I\left( { - 1;0} \right)\\
\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Rightarrow {T_{\overrightarrow {AD} }}\left( B \right) = C \Rightarrow C \in {T_{\overrightarrow {AD} }}\left( {I;AD\sqrt 2 } \right) = \left( {A;AD\sqrt 2 } \right)
\end{array}.$
Vậy quỹ tích điểm C là đường tròn tâm A, bán kính ${AD\sqrt 2 }.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét