SỬ DỤNG BĐT CAUCHY-SCHWARZ CHỨNG MINH BĐT VÀ TÌM MIN,MAX

Kiến thức căn bản:
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu như sau:
- Với hai bộ số thực bất kì $\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},..{{a}_{n}} \right)$và $\left( {{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}} \right)$ta có:
$\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2} \right)\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2} \right)\ge {{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}$(*)
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow \dfrac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\dfrac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}}=...=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}$
- Với n = 2, ta có:
Nếu a, b, x, y là các số thực, thì: $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( ax+by \right)}^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}$
- Với n = 3, ta có:
Nếu a, b, c, x, y, z là các số thực, thì: $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\ge {{\left( ax+by+cz \right)}^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$

Các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: $Cho\,a,b,c > 0.\,\,CMR:\,\dfrac{{{a^2}}}{{b + 3c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + 3a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + 3b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{4}$

Ví dụ 2: $Cho\,x,y,z > 0.\,\,CMR:\,\,\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2yz}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{y^2} + 2zx}} + \dfrac{{{z^2}}}{{{z^2} + 2xy}} \ge 1$
Ví dụ 3: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ abc = 1 \end{array} \right..\,\,CMR:\,\,\dfrac{a}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{b}{{{{\left( {bc + b + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{c}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} \ge \dfrac{1}{{a + b + c}}$
Ví dụ 4: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} x,y,z > 0\\ 4x + 9y + 16z = 49 \end{array} \right..\,\,CMR:\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{{25}}{y} + \dfrac{{64}}{z} \ge 49$
Ví dụ 5: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ a + b + c = 1 \end{array} \right..\,\,CMR:\,\,\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} \ge 30$
Ví dụ 6: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} x,y,z > 0\\ x + y + z \le 1 \end{array} \right..\,\,CMR:\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + \sqrt {{y^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}}}  + \sqrt {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}}  \ge \sqrt {82}$
Ví dụ 7: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ ab + bc + ca = abc \end{array} \right..\,CMR:\,\dfrac{{\sqrt {{b^2} + 2{a^2}} }}{{ab}} + \dfrac{{\sqrt {{c^2} + 2{b^2}} }}{{bc}} + \dfrac{{\sqrt {{a^2} + 2{c^2}} }}{{ca}} \ge \sqrt 3$
Ví dụ 8: $Cho\,\,a,b,c \ge 1.\,\,CMR:\,\sqrt {a - 1}  + \sqrt {b - 1}  + \sqrt {c - 1}  \le \sqrt {c\left( {ab + 1} \right)}$
Ví dụ 9: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ abc = 1 \end{array} \right..\,CMR:\,\dfrac{1}{{{a^3}\left( {b + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{{b^3}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{c^3}\left( {a + b} \right)}} \ge \dfrac{3}{2}$
Ví dụ 10: Cho a, b, c là các số thực dương.
$CMR:\dfrac{a}{{a + \sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \dfrac{b}{{b + \sqrt {\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)} }} + \dfrac{c}{{c + \sqrt {\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }} \ge 1.$
Ví dụ 11: $Cho\,a,b,c > 0.\,Min\,P = \dfrac{{3a}}{{b + c}} + \dfrac{{4b}}{{c + a}} + \dfrac{{5c}}{{a + b}} = ?$
Ví dụ 12: $Cho\,a,b,c > 0.\,CMR:\,\sqrt {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {{\left( {b + c} \right)}^3}}}}  + \sqrt {\dfrac{{{b^3}}}{{{b^3} + {{\left( {c + a} \right)}^3}}}}  + \sqrt {\dfrac{{{c^3}}}{{{c^3} + {{\left( {a + b} \right)}^3}}}}  \ge 1.$
Ví dụ 13: $Cho\,a,b,c > 0.\,MaxP = \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{c + 3\sqrt {ab} }} + \dfrac{{\sqrt {bc} }}{{a + 3\sqrt {bc} }} + \dfrac{{\sqrt {ca} }}{{1 + 3\sqrt {ca} }}$
Ví dụ 14: $Cho{\mkern 1mu} \,a,b,c > 0\,\& \,\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = 1$
$MaxP = \dfrac{1}{{\sqrt {5{a^2} + 2ab + 2{b^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {5{b^2} + 2bc + 2{c^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {5{c^2} + 2ca + 2{a^2}} }} = ?$
Ví dụ 15: $Cho\,\,a,b,c > 0.\,\,CMR:\,\left( {1 + a} \right)\left( {1 + \frac{b}{a}} \right)\left( {1 + \frac{9}{{\sqrt b }}} \right) \ge 256.$
Ví dụ 16:  $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ \dfrac{1}{a} + \dfrac{8}{b} + \dfrac{{27}}{c} = 1 \end{array} \right..\,MinP = {a^2} + {b^2} + {c^2} = ?$
Ví dụ 17: $Cho\,\,a,b,c > 0.\,\,CMR:\,\dfrac{a}{{4a + 4b + c}} + \dfrac{b}{{4b + 4c + a}} + \dfrac{c}{{4c + 4a + b}} \le \dfrac{1}{3}$
Ví dụ 18: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ a + b + c = 3 \end{array} \right..\,\,CMR:\,\dfrac{1}{{{a^2} + b + c}} + \dfrac{1}{{{b^2} + c + a}} + \dfrac{1}{{{c^2} + a + b}} \le 1$
Ví dụ 19: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + xy + {y^2} = 3\\ {y^2} + yz + {z^2} = 16 \end{array} \right..\,\,CMR:\,xy + yz + zx \le 8.$
Ví dụ 20: $Cho\,\left\{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ a,b > c \end{array} \right..\,\,CMR:\,\sqrt {c\left( {a - c} \right)}  + \sqrt {c\left( {b - c} \right)}  \le \sqrt {ab}$