Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt cầu \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0 và đường thẳng d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}. Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) ( A, B, C là các tiếp điểm ). Sao cho \widehat {AMB} = {60^0};\,\widehat {BMC} = {90^0};\,\,\widehat {CMA} = {120^0} .
Giải:
Gọi O là tâm mặt cầu. Do A,B,C là các tiếp điểm kẻ từ M đến mặt cầu nên ta có:
MA=MB=MC=a. và A,B,C nội tiệp một đường tròn .
Từ GT \Rightarrow AB=a, BC=a\sqrt{2},AC=a\sqrt{3}
Khi đó tam giác ABC vuông tại B.
Gọi H, K là trung điểm AC và AB. Ta có:
\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} AB \bot MK\\ AB \bot HK \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot MH\\ MH \bot AC \Rightarrow MH \bot (ABC) \end{array}.
Khi đó M,H,O thẳng hàng. MC là tiếp tuyến nên MC\perp OC
Khi đó CH=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}, OC=R=\sqrt{27}
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMC ta có :
\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{27}=\dfrac{4}{3a^2}
\Rightarrow {a}^{2}=9\Rightarrow MO=6
M\in d\Rightarrow M(t-1;t-2;t+1);O(1;2;-3)
\Rightarrow {(t-2)}^{2}+{(t-4)}^{2}+{(t+4)}^{2}=36\Rightarrow t=0;t=\dfrac{4}{3} \Rightarrow M(-1;-2;1);(\dfrac{1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{7}{3})
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét