Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$ , cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0 $ và đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}$. Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng $d$ sao cho từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến $MA, MB, MC$ đến mặt cầu $(S)$ ( $A, B, C$ là các tiếp điểm ). Sao cho $\widehat {AMB} = {60^0};\,\widehat {BMC} = {90^0};\,\,\widehat {CMA} = {120^0}$ .
Giải:
Gọi $O$ là tâm mặt cầu. Do $A,B,C$ là các tiếp điểm kẻ từ $M$ đến mặt cầu nên ta có:
$MA=MB=MC=a$. và $A,B,C$ nội tiệp một đường tròn .
Từ GT $\Rightarrow AB=a, BC=a\sqrt{2},AC=a\sqrt{3}$
Khi đó tam giác $ABC$ vuông tại B.
Gọi H, K là trung điểm AC và AB. Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot MK\\
AB \bot HK
\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot MH\\
MH \bot AC \Rightarrow MH \bot (ABC)
\end{array}.$
Khi đó M,H,O thẳng hàng. MC là tiếp tuyến nên $MC\perp OC$
Khi đó $CH=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}, OC=R=\sqrt{27}$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMC ta có :
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{27}=\dfrac{4}{3a^2}$
$\Rightarrow {a}^{2}=9\Rightarrow MO=6$
$M\in d\Rightarrow M(t-1;t-2;t+1);O(1;2;-3)$
$\Rightarrow {(t-2)}^{2}+{(t-4)}^{2}+{(t+4)}^{2}=36\Rightarrow t=0;t=\dfrac{4}{3} \Rightarrow M(-1;-2;1);(\dfrac{1}{3};\dfrac{-2}{3};\dfrac{7}{3})$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét