Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, góc ABC= α. Tất cả các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy một góc 30 độ. Một mặt phẳng (P) đi qua BC và tạo với mặt đáy góc 15 độ cắt đoạn SA tại M. Tính diện tích của tam giác MBC.
Giải:
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh S của hình chóp.
\widehat {\left( {SA,(ABC)} \right)} = \widehat {\left( {SA,AH} \right)} = \widehat {SAH} = {30^0}\\
\widehat {\left( {SB,(ABC)} \right)} = \widehat {\left( {SB,BH} \right)} = \widehat {SBH} = {30^0}\\
\widehat {\left( {SC,(ABC)} \right)} = \widehat {\left( {SC,CH} \right)} = \widehat {SCH} = {30^0}
\end{array} \right.$
Khi đó $\Delta SHA = \Delta SHB = \Delta SHC\left( {g - c - g} \right)$
$\Rightarrow HA = HB = HC$
$\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
$\Rightarrow H \in $ đường trung trực AN của BC.
$\begin{array}{l}
Do\,\left\{ \begin{array}{l}
\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\
\left( {ABC} \right) \supset AN \bot BC\\
\left( P \right) \cap SA = M
\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot BC\\
\& \,\widehat {\left( {(P),(ABC)} \right)} = \widehat {\left( {MN,AN} \right)} = \widehat {MNA} = {15^0}\\
\Rightarrow \widehat {AMN} = 180 - \left( {\widehat {MAN} + \widehat {ANM}} \right) = {135^0}
\end{array}$
$\begin{array}{l}
Trong\,\Delta ABC:\left\{ \begin{array}{l}
BC = 2BN = 2a\,cos\,\alpha \\
AN = a\,sin\,\alpha
\end{array} \right. \Rightarrow Trong\,\Delta AMN:\dfrac{{MN}}{{\sin \,\widehat {MAN}}} = \dfrac{{AN}}{{\sin \,\widehat {AMN}}}\\
\Leftrightarrow MN = AN.\dfrac{{\sin {{30}^0}}}{{\sin \,{{135}^0}}} = \dfrac{{a\,sin\,\alpha }}{{\sqrt 2 }}\, \Rightarrow {S_{\Delta MBC}} = \dfrac{1}{2}MN.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\,sin\,\alpha }}{{\sqrt 2 }}.2a\,cos\,\alpha = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 \sin \,2\alpha }}{4}
\end{array}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét