Đề bài: (Câu hỏi của bạn Trần Phạm Tuyên hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho khai triển ${P\left( x \right) = {{\left( {{2^x} + {2^{\frac{1}{2} - x}}} \right)}^n}}.$ Tìm x biết. Tổng hai số hạng thứ 3 và thứ 5 là 135 còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối là 22.
Giải:
$\begin{array}{l}
SHTQ\left( {SH\,thu\,k + 1} \right):\,S{H_k} = C_n^k{.2^{k\left( {\dfrac{1}{2} - x} \right)}}{.2^{\left( {n - k} \right)x}} = C_n^k{.2^{nx - 2kx + \dfrac{k}{2}}}\\
Do\,{a_{n - 2}} + {a_{n - 1}} + {a_n} = 22 \Leftrightarrow C_n^{n - 2} + C_n^{n - 1} + C_n^n = 22 \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + n + 1 = 22\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{n^2} + n - 42 = 0\\
n \in {N^*}
\end{array} \right. \Rightarrow n = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S{H_3}\mathop = \limits^{k = 2} C_6^2{.2^{2x + 1}} = {30.2^{2x}}\\
S{H_5}\mathop = \limits^{k = 4} C_6^4{.2^{2 - 2x}} = \dfrac{{60}}{{{2^{2x}}}}
\end{array} \right. \Rightarrow {30.2^{2x}} + \dfrac{{60}}{{{2^{2x}}}} = 135\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {2^{2x}}\left( {t > 0} \right)\\
2{t^2} - 9t + 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 4 \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^2} \Leftrightarrow x = 1\\
t = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{2x}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ { - \dfrac{1}{2};1} \right\}
\end{array}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét