Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hữu Tường's hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz=1. Tìm Min $\ P = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + yz} + \sqrt {{y^2} + zx} + \sqrt {{z^2} + xy} }}.$
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$\ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + yz} + \sqrt {{y^2} + zx} + \sqrt {{z^2} + xy} \le \sqrt {3\left( {{x^2} + yz + {y^2} + zx + {z^2} + xy} \right)} \\
= \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {xy + yz + zx} \right)} = \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)} \\
\le \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \frac{{27}}{{x + y + z}}} \Rightarrow {P^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^5}}}{{3{{\left( {x + y + z} \right)}^3} - 27}}
\end{array}$
Đặt $\ t = x + y + z \Rightarrow t \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( t \right) = \frac{{{t^5}}}{{3{t^3} - 27}}\\
t \ge 3
\end{array} \right.$
$\ \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{3{t^4}\left( {2{t^3} - 45} \right)}}{{3{t^3} - 27}} > 0,\,\forall t \ge 3 \Rightarrow $ Hàm số f(t) luôn đồng biến trên khoảng đã xác định.
$\ \Rightarrow {P^2} \ge f\left( t \right) \ge f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} \Leftrightarrow P \ge \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow Min\,P = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = z\\
x + y + z = 3\\
xyz = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 1.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét