Processing math: 100%

Thứ Sáu, 20 tháng 6, 2014

Bắt đầu học bắt đẳng thức...

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hữu Tường's hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn xyz=1. Tìm Min \ P = \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} + yz}  + \sqrt {{y^2} + zx}  + \sqrt {{z^2} + xy} }}.
Giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\ \begin{array}{l} \sqrt {{x^2} + yz}  + \sqrt {{y^2} + zx}  + \sqrt {{z^2} + xy}  \le \sqrt {3\left( {{x^2} + yz + {y^2} + zx + {z^2} + xy} \right)} \\  = \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {xy + yz + zx} \right)}  = \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)} \\  \le \sqrt {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \frac{{27}}{{x + y + z}}}  \Rightarrow {P^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^5}}}{{3{{\left( {x + y + z} \right)}^3} - 27}} \end{array}

Đặt \ t = x + y + z \Rightarrow t \ge 3\sqrt[3]{{xyz}} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( t \right) = \frac{{{t^5}}}{{3{t^3} - 27}}\\ t \ge 3 \end{array} \right.
\  \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{3{t^4}\left( {2{t^3} - 45} \right)}}{{3{t^3} - 27}} > 0,\,\forall t \ge 3 \Rightarrow Hàm số f(t) luôn đồng biến trên khoảng đã xác định.
\  \Rightarrow {P^2} \ge f\left( t \right) \ge f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} \Leftrightarrow P \ge \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow Min\,P = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y = z\\ x + y + z = 3\\ xyz = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = 1.

Không có nhận xét nào: