Sử dụng Nhị Thức Newton tính tổng: "Đạo hàm + Nhân x + Đạo hàm nữa"

Đề bài: (Bài của bạn Hương Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tính tổng: $\ S = {2^2}C_n^2 - {3^2}C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{n^2}C_n^n.$ Biết n = 30.
Giải:
Ta xét khai triển: $\ {\left( {1 - x} \right)^n} = C_n^0 - C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{x^n}.$

Đạo hàm 2 vế ta được: $\  - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} =  - C_n^1 + C_n^22x + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^nn{x^{n - 1}}.$


Nhân x vào 2 vế ta được: $\  - nx{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} =  - C_n^1x + C_n^22{x^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^nn{x^n}.$

Đạo hàm 2 vế lần nữa: $\ n\left( {n - 1} \right)x{\left( {1 - x} \right)^{n - 2}} - n{\left( {1 - x} \right)^{n - 1}} =  - C_n^1 + C_n^2{2^2}x + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{n^2}{x^{n - 1}}.$

Khi đó: $\ 0 =  - C_n^1 + C_n^2{2^2} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n{n^2} \Leftrightarrow S = {2^2}C_n^2 - {3^2}C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{n^2}C_n^n = C_n^1 = C_{30}^1 = 30.$

Vậy S = 30.