Mỗi ngày một tính chất hình Oxy...

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Yến Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A và phân giác ngoài góc B lần lượt là x=2 và x+y+7=0. I(-1/2;1), J(2;1) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Tìm toạ độ của A,B,C.
Giải:

Dễ thấy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI là phân giác trong của góc B.
Do tính chất: "Phân giác trong và phân giác ngoài của cùng một góc vuông góc với nhau" nên ta có:
$\ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\overrightarrow n _{BJ}} = \left( {1; - 1} \right)\\ J\left( {2;1} \right) \in BJ \end{array} \right. \Rightarrow BJ:x - y - 1 = 0\\  \Rightarrow B = BJ \cap x + y + 7 = 0 \Rightarrow B\left( { - 3; - 4} \right)\\  \Rightarrow R = BI = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\\  \Rightarrow \left( {ABC} \right):{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\\  \Rightarrow A\left( {{x_A};{y_A}} \right):\left\{ \begin{array}{l} {\left( {{x_A} + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - 1} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\\ {x_A} = 2 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A\left( {2;6} \right)\\ A\left( {2; - 4} \right) \end{array} \right. \end{array}.$

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua phân giác trong BJ, khi đó ta dễ chứng minh được A' thuộc BC ( A' là điểm đối xứng của A qua phân giác trong BJ thì tam giác ABA' cân ở B nên BJ là phân giác của góc ABA', mà BJ lại là phân giác của ABC, do đó B, A', C thẳng hàng).
- Nếu A(2;6): 
$$\begin{array}{l} A'\left( {a;b} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {1;1} \right) = {\overrightarrow u _{BJ}} \bot \overrightarrow {AA'}  = \left( {a - 2;b - 6} \right)\\ \left( {\frac{{a + 2}}{2};\frac{{b + 6}}{2}} \right) \in BJ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 2 + b - 6 = 0\\ \frac{{a + 2}}{2} - \frac{{b + 6}}{2} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow A'\left( {7;1} \right)\\  \Rightarrow A'B \equiv BC:x - 2y - 5 = 0 \Rightarrow C\left( {{x_C};{y_C}} \right):\left\{ \begin{array}{l} {\left( {{x_C} + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {{y_C} - 1} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\\ {x_C} - 2{y_C} - 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} C\left( {0;5} \right)\\ C\left( { - 3; - 4} \right)\left( {L \equiv B} \right) \end{array} \right. \end{array}$$
- Nếu A(2;-4): 
$$\begin{array}{l} A'\left( {c;d} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {1;1} \right) = {\overrightarrow u _{BJ}} \bot \overrightarrow {AA'}  = \left( {c - 2;d + 4} \right)\\ \left( {\frac{{c + 2}}{2};\frac{{d - 4}}{2}} \right) \in BJ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c + d + 2 = 0\\ \frac{{c + 2}}{2} - \frac{{d - 4}}{2} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow A'\left( { - 3;1} \right)\\  \Rightarrow A'B \equiv BC:x =  - 3 \Rightarrow C\left( {{x_C};{y_C}} \right):\left\{ \begin{array}{l} {\left( {{x_C} + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {{y_C} - 1} \right)^2} = \frac{{125}}{4}\\ x =  - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} C\left( { - 3;6} \right)\\ C\left( { - 3; - 4} \right)\left( {L \equiv B} \right) \end{array} \right. \end{array}$$