Sử dụng tỉ số thể tích vào tính thể tích.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Duy Lãm Đào hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = 2a, BC =a, các cạnh bên chóp bằng nhau và bằng $\ a\sqrt 2 .$E,F lần lượt thuộc SC, SD sao cho SE=2EC, 3SF=FD. Tính thể tích chóp S.ABEF.
Giải:

Gọi O là tâm của đáy ABCD. Ta thấy:

$\ \left. \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} SA = SC\\ OA = OC \end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot AC\,\,\\ \left. \begin{array}{l} SB = SD\\ OB = OD \end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot BC \end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).$Ta dễ thấy: $\ {V_{S.ABEF}} = {V_{S.ABE}} + {V_{S.AEF}}.$
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có:
$$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{V_{S.ABE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB}}{{SB}}.\frac{{SE}}{{SC}} = 1.1.\frac{2}{3} \Rightarrow {V_{S.ABE}} = \frac{2}{3}{V_{S.ABC}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABCD}}\\ \frac{{{V_{S.AEF}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SE}}{{SC}}.\frac{{SF}}{{SD}} = 1.\frac{2}{3}.\frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.AEF}} = \frac{1}{6}{V_{S.ACD}} = \frac{1}{6}.\frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{{12}}{V_{S.ABCD}} \end{array} \right.\\  \Rightarrow {V_{S.ABEF}} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{12}}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{5}{{12}}.\frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{5}{{36}}.\sqrt {S{C^2} - O{C^2}} .{S_{ABCD}} = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{36}} \end{array}$$