Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AB= a , AC= 2a, SA vuông góc với mp (ABCD), SC tạo với mp (SAB) 1 góc 30 độ, M thuộc AB sao cho BM=3MA. Tính thể tích hình chóp S.DCM và khoảng cách từ A đến mp (SCM).
Giải:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
CB \bot AB\\
CB \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,SB} \right)} = \widehat {BSC} = {30^0}.$
Đặt$\ SA = h \Rightarrow SB = \sqrt {{h^2} + {a^2}} ;\,\,BC = 2a;\,\,\tan {30^0} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \frac{{2a}}{{\sqrt {{h^2} + {a^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow h = a\sqrt {11} .$
Mặt khác: $\ {S_{\Delta MCD}} = \frac{1}{2}BC.CD = {a^2} \Rightarrow {V_{S.DCM}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta MCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt {11} .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{3}.$
Trong đáy, dựng AK vuông góc MC (K thuộc MC).Trong (SAK) dựng AH vuông góc SK (H thuộc SK).
$\ \left. \begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
CM \bot AK\\
CM \bot SA
\end{array} \right\} \Rightarrow CM \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow CM \bot AH\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,SK \bot AH
\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SCM} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SCM} \right)} \right).$
Mà trong đáy ta có tam giác AKM đồng dạng với tam giác CBM nên:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}\\
\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{AK}}{{BC}} \Rightarrow AK = \frac{{\frac{a}{4}.2a}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2} + 4{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt {73} }}{4}
\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{{16}}{{73{a^2}}} + \frac{1}{{11{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt {\frac{{803}}{{249}}} .$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét