Mỗi ngày một phát hiện mới trong hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Han Tri và bạn Yến Nguyễn cùng hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,

cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn T tâm I(0,5). Đường AI cắt đường tròn tại M(5,0) (M khác A). Đường cao đi qua C cắt đường tròn T tại N(-17/5; -6/5) (N khác C). Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết hoành độ điểm B lớn hơn 0.
Giải:
Do I là trung điểm của đường kính AM nên ta dễ dàng có được A(-5;10). Và ta có tam giác BMN cân ở B.
* Phát hiện điểm mấu chốt của bài toán: 
Do ABC cân ở A nên AM là đường trung trực của BC, khi đó: MB=MC(1). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

$\ BH \bot AC;\,MC \bot AC \Rightarrow BH//MC\left( 2 \right)\,\,\,\,.$
$\ CH \bot AB;\,MB \bot AB \Rightarrow CH//MB\left( 3 \right).$
Từ (1), (2) và (3) ta thấy BMCH là hình thoi.
Nên CB là phân giác góc NCM, khi đó sđc BN = sđc BM.
Do đó BMN cân ở B.            

Gọi K là trung điểm của MN ta có $\ BK \bot MN\left( 4 \right).$

Mà tam giác IMN cân ở I nên ta cũng có $\ IK \bot MN\left( 5 \right).$ 

Từ (4) và (5) ta được: B,K,I thẳng hàng hay BI vuông góc MN.

* Tìm toạ độ của B và C:

Dễ thấy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $\ \left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 50.$

Do BI vuông góc với MN nên dễ lập được phương trình của BI là: $\ 7x + y - 5 = 0.$

Do B là giao của BI với (C) nên: $\ 7x + y - 5 = 0;\,\,{x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 50\left( {x > 0} \right)\,\, \Rightarrow B\left( {1; - 2} \right).$

Vì C là điểm đối xứng của B qua AM mà AM. Ta thấy PT của AM và BC (qua B nhận AM làm vtpt) lần lượt là: 

$\ x - y - 3 = 0\,\,\& \,\,x + y - 5 = 0.$ Khi đó toạ độ trung điểm của BC là (4;1). Do đó dễ thấy toạ độ của C là C(7;4)