Oxy

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ác Quỷ hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2BC, B(7;3).$ Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $AB, E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A.$ Biết rằng $N(2;-2)$ là trung điểm của $DM,$ điểm $E$ thuộc đường thẳng $\Delta: 2x-y+9=0.$ Tìm tọa độ đỉnh $D.$
Giải:

BĐT

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Cần Một Bờ Vai hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:  $\left| {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} - \dfrac{a}{c} - \dfrac{c}{b} - \dfrac{b}{a}} \right| < 1(\bigstar)$
Giải:

ĐTHS.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Ngô Thúy Ngân hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tìm $m$ để đường thẳng $(\Delta):y=(2m-1)x-4m$ cắt đồ thị hàm số $(C):y=x^3-3x^2+2$ tại đúng hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $ABC$ nhận gốc tọa độ $O$ làm trọng tâm. Biết rằng $C\left( { - 1;4} \right).$
Giải:

HHKG 12.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Cẩm Giang Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D.$ $AB=AD=a, CD=2a, SD=h$ và $SD \bot (ABCD).$ Gọi $E$ là trung điểm của $CD, K$ là hình chiếu của $E$ trên $SC$ trong mặt phẳng $(SCD).$
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD.$
b) CMR: Sáu điểm $S,A,D,E,K,B$ cùng nằm trên một mặt cầu, tính diện tích mặt cầu này.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $AE.$
Giải:

ĐL Fermat.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Triet Tran hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
 Cho $m,n$ là các số nguyên dương và $m>n.$ Chứng minh rằng: $A=mn\left( {{m^{30}} - {n^{30}}} \right) \vdots 14322.$
Giải:

PT nghiệm nguyên.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Mai Han hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn: $2y\left( {2{x^2} + 1} \right) - 2x\left( {2{y^2} + 1} \right) + 1 = {x^3}{y^3}$
Giải:

Hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Star HOpe hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta:x-y+1=0$ và đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y-4=0.$ Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho qua $M$ kẻ được hai tiếp tuyến $MA,MB$ đến đường tròn $(C)$,(với $A,B$ là các tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ $N\left( { - 1;\dfrac{3}{2}} \right)$ đến $AB$ là lớn nhất.
Giải:

Hình học HSG 9.

Đề bài: (Câu hình học ôn thi HSG 9 - hay/khó)
Cho $\Delta{ABC}$ cân tại $A,$ điểm $D$ nằm trong tam giác thỏa mãn $DA=DB+DC.$ Đường phân giác ngoài $\widehat{ADB}$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $P$ và đường phân giác ngoài $\widehat{ADC}$ cắt đường trung trực của $AC$ tại $Q.$
Chứng minh rằng: $\blacksquare{BCPQ}$ nội tiếp.
Giải:

Côsi ngược dấu.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Tiến Lộc hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng:
$\dfrac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \geq 1 (\bigstar)$
Giải:

Mặt cầu.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Cá Biết Leo Cây hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tứ diện $ABCD$ với $AB=CD=c, AC=BD=b, BC=AD=a.$
a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Chứng minh rằng: Tồn tại một mặt cầu nội tiếp tứ diện đã cho.
Giải:

Hình Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Star Hope hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho đường tròn $(C)$ tâm $I$ bán kính $R=2,$ lấy điểm $M$ trên đường thẳng $d:x+y=0.$ Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ đến $(C)$,(với $A,B$ là các tiếp điểm). Biết phương trình đường thẳng $(AB):3x+y-2=0$ và khoảng cách thừ tâm $I$ đến $d$ bằng $2\sqrt{2}$. Viết phương trình đường tròn $(C).$
Giải:

BĐT thi DH.

Đề bài: (Trích câu cuối đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 - Trường THPT Hiệp Hòa 1 - Bắc Giang)
Cho hai số $a,b \in (0;1)$ thỏa mãn $(a^3+b^3)(a+b)-ab(a-1)(b-1)=0$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + 3ab - {a^2} - {b^2}$.
Giải:

BĐT thi ĐH.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Gió Phù Du hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hai số $a,b \in (0;1)$ thỏa mãn $(a^3+b^3)(a+b)-ab(a-1)(b-1)=0$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = \dfrac{{12}}{{\sqrt {36 + \left( {1 + 9{a^2}} \right)\left( {1 + 9{b^2}} \right)} }} + 3ab - \dfrac{{{a^4} + {b^4}}}{{ab}}.$
Giải:

BĐT hay!

Đề bài: (Câu hỏi của anh Việt Lê hỏi trên Group BÀI TOÁN HAY - LỜI GIẢI ĐẸP - ĐAM MÊ TOÁN HỌC)
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1.$ CMR: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq \dfrac{25}{1+48abc}$
Giải:

HPT hay!

Đề bài: (Trích câu khó trong đề kiểm tra Toán 12 - THPT Chuyên Ams - Ngày 03/11/2015)
Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 9{y^2} + 6xy + 12y + 5x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \dfrac{2}{3}{x^3} + 5x{y^2} + 2x \ge 15{y^2} + \left( {{x^2} - 9} \right)y + 24\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Giải:

HPT lớp 9.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Phương Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải các phương trình sau:
Bài 01. $\sqrt {2x + 5}  - \sqrt {3 - x}  = {x^2} - 5x + 8.$
Bài 02. $2\sqrt {x + 3}  + \sqrt {2x\left( {3x + 1} \right)}  = 2\sqrt {2x}  + \sqrt {3{x^2} + 10x + 3}$
Giải:

HPT hay!

Đề bài: (Bài Hệ Phương Trình - Đề thi HSG lớp 12 Sở GD và ĐT Hải Dương - Ngày 07/10/2015)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} - 2x - 5 + 2x\sqrt {{x^2} + 1}  = 2\left( {y + 1} \right)\sqrt {{y^2} + 2y + 2} \\ 2x - 4y + 3 = {x^2} + 2{y^2} \end{array} \right.$
Giải:

PT hay.

Đề bài (Câu PT vô tỉ trích đề thi HSG lớp 12 - TP Hà Nội, năm học 2015-2016)
Giải phương trình: $2\sqrt { - 2{x^2} + 5x + 7}  = {x^3} - 3{x^2} - x + 12$
Giải:

BĐT hay

Đề bài (Câu BĐT trích đề thi HSG lớp 12 - TP Hà Nội, năm học 2015-2016)
Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng $1.$
Chứng minh rằng: $4\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}}} \right) \ge \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + 9(*)$
Giải:

PT & HPT hay!

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Võ Đức hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Bài 01. Giải phương trình: $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\dfrac{x^2}{4} (*)$
Bài 02. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 2{y^3} + y + 2x\sqrt {1 - x}  = 3\sqrt {1 - x} \,\,\left( 1 \right)\\ \sqrt {2{y^2} + 1}  + y = 4 + \sqrt {x + 4} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Giải:

BĐT hay

Đề bài (Bài Bất Đẳng Thức trong đề thi tuyển GV Công Chức - Sở GD và ĐT Hà Nội năm 2014)
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a+b+c=1$.
Chứng minh rằng: $\sqrt {\dfrac{{{a^2} + 2ab}}{{{b^2} + 2{c^2}}}}  + \sqrt {\dfrac{{{b^2} + 2bc}}{{{c^2} + 2{a^2}}}}  + \sqrt {\dfrac{{{c^2} + 2ca}}{{{a^2} + 2{b^2}}}}  \ge \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\left( * \right)$
Giải:

BĐT hay.

Đề bài: (Giao cho HS mà mình quên mất cách biến đổi, vì gần 10 năm mới làm lại)
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: $2abc\left ( a+b+c \right )\leq \dfrac{5}{9}+a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}$
Giải:

Dễ mà không dễ.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Trinh Phuong hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A, AB=2a, \widehat{BAC}=120^0.$ Biết rằng $\widehat{SBA}=\widehat{SCA}=90^0,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $45^0.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$ theo $a.$
Giải:

Bài tập trò cũ hỏi...

Đề bài: 
Bài 1: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức $E=2x^2+9y^2-6xy-12y+2004$
Bài 2: Cho biết ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = {\left( {a + b - 2c} \right)^2} + {\left( {b + c - 2a} \right)^2} + {\left( {c + a - 2b} \right)^2}$. Chứng minh rằng: $a=b=c$

CMR: $\widehat{QNM}=\widehat{PNM}$

Đề bài: (Bài hình thảo luận trong Group TOÁN CHỌN LỌC CẤP 2 – GỢI MỞ TRỰC GIÁC VÀ CẢM HỨNG SÁNG TẠO)
Cho hình chữ nhật $ABCD$. $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC.$ Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $P$, $PM$ cắt $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng: $\widehat{QNM}=\widehat{PNM}$
Giải:

$\dfrac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên.

Đề bài: (Trích đề thi HSG Thành Phố Hà Nội năm học 2014-2015)
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên.
Giải:

Giải HPT: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 35\\ 2{x^2} + 3{y^2} = 4x - 9y \end{array} \right.$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Pham Van Minh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - {y^3} = 35\\ 2{x^2} + 3{y^2} = 4x - 9y \end{array} \right.$
Giải:

CMR: $\dfrac{a}{{\sqrt {4{b^2} + bc + 4{c^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {4{c^2} + ca + 4{a^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {4{a^2} + ab + 4{b^2}} }} \ge 1$

Đề bài: (Một bài bất đẳng thức HAY và ĐẸP cho học sinh THCS ôn thi HSG hoặc THPT Chuyên)
Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a^2+b^2>0, b^2+c^2>0, c^2+a^2>0$.\\
Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{{\sqrt {4{b^2} + bc + 4{c^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {4{c^2} + ca + 4{a^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {4{a^2} + ab + 4{b^2}} }} \ge 1$
Giải:

Tính tổng: $sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma=?$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Lực hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc. Gọi $\alpha, \beta, \gamma$ lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng $(ABC)$ với $(SAB), (SBC), (SCA)$. Tính tổng: $sin^2 \alpha+sin^2 \beta+sin^2 \gamma=?$
Giải:

HPT khó.

Đề bài (Câu hỏi của bạn Võ Đức hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x^4} - 2x = {y^4} - y\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^3} = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$
Giải:

Chứng minh: $MA^4+MB^4+MC^4=18R^4$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Trang Moon hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
 Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $1$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC.$ \\ Đặt $MA=x, MB=y, MC=z.$ Chứng minh rằng: $x^4+y^4+z^4=2$
Giải:

BĐT quen thuộc.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Võ Trương Đan Song hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=\dfrac{3}{2}.$
Chứng minh rằng: $\left( {1 + \dfrac{1}{{{a^3}}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{b^3}}}} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{{c^3}}}} \right) \ge 729\left( * \right)$

Ôn tập CĐ rút gọn phân thức.

BĐT lớp 7

Hình lớp 8

Thể tích hình chóp.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hạ Băng hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $(SAB)$ vuông góc $(ABC)$, tam giác $SAB$ vuông cân tại $S, BC=2a,$ góc tạo bởi $(SAC)$ và $(ABC)$ là $60^0$. Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$
Giải:

Bất đẳng thức.

Câu Bất Đẳng Thức - QG 2015

Oxy có xét hàm.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Đức Huỳnh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ thuộc trục hoành. Đường trung trực của $BC$ và đường trung tuyến $CC’$ có phương trình lần lượt là: ${{d}_{1}}:x+y-3=0$ và ${{d}_{2}}:x-2y+1=0.$ Viết phương trình đường thẳng $BC$ biết tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất và điểm $A$ có hoành độ thuộc đoạn $\left[ 1;3 \right].$
Giải:

ĐỀ THI, ĐÁP ÁN MÔN TOÁN VÀO CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI NĂM 2015.

Min, Max

Question: (Kunihiko Chikaya 's question on facebook Trợ Giúp Toán Học)
 Let $a, b$ be constants such that $a^2-b^2>1$. Find the maximum and minimum value of $\dfrac{{\sin \,x}}{{a + b\cos x + \sin \,x}}$, and the values of $cosx, sinx$ giving the maximum and minimum value.
Answer

HPT hay.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Thảo Lê hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 2} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {y - 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {x + y} }}\\ {x^2} + {y^2} + 4xy - 4x + 2y - 5 = 0 \end{array} \right.$
Giải:

Hình hộp xiên.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Lê Việt Thông hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\,\,AD=a\sqrt{3}$. Hình chiếu $A’$ của   trên   trùng với giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết góc giữa $(ADD’A’)$ và $(ABCD)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích của $ABCD.A’B’C’D’$ và $d\left( B' \longrightarrow (A'BD) \right).$
Giải:

HH Oxy khó.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Chờ Một Ngày Nắng hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có góc $A$ nhọn , điểm $D( 2,-4)$ thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $D$ cách đều $AB, AC$. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác có tâm $K(2;-9)$. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên đường thẳng $AB$ và $AC, EF$ cắt $BC$ tại $M(1;-2)$. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác $ABC$?
Giải:

Evaluate.

Question: (Kunihiko Chikaya 's question on facebook Trợ Giúp Toán Học)
Evaluate $I=\displaystyle\int\limits_0^1 {\frac{x}{{\left[ {\left( {2x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + x + 1}  + \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right]\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} }}dx}$
Answer: