Tính giá trị của biểu thức: \[S = \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} + \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}}\]

Đề bài (Bài của bạn Nguyễn Tiến hỏi trên mục hỏi&đáp )
Giả sử phương trình$\ {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = 0$ có 4 nghiệm $\ {z_1};{z_2};{z_3};{z_4} \in C.$ Tính giá trị của biểu thức: \[S = \frac{1}{{z_1^4}} + \frac{1}{{z_2^4}} + \frac{1}{{z_3^4}} + \frac{1}{{z_4^4}}\]
Giải:
Chúng ta sẽ sử dụng PP hệ số bất định để phân tích đa thức bậc 4 về nhân tử như sau:
Giả sử: $\ {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = \left( {{z^2} + az + 2} \right)\left( {{z^2} + bz + 4} \right).$
Nhân ra và đồng nhất các hệ số ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a + b =  - 2\\
ab + 6 = 6\\
4a + 2b =  - 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =  - 2\\
b = 0
\end{array} \right. \Rightarrow {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 8 = \left( {{z^2} - 2z + 2} \right)\left( {{z^2} + 4} \right) = 0.$

Giải chi tiết đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013.

ĐỀ CHÍNH THỨC

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số$\ y = \frac{x}{{1 - x}}.$(1).
      1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
      2. Gọi I là tâm đối xứng của độ thị hàm số (1).
          Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số sao cho tứ giác OABI là thang có đáy AB = 3OI.
Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình $\ (\sin x + 1)(\tan x + \sqrt 3 ) + 2\cos x = 0.$
Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình $\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{{2x}} + \frac{x}{y} = \frac{{3x + 3\sqrt y }}{{4{x^2} + 2y}}}\\
{4x + y = \sqrt {2x + 6}  - 2\sqrt y }
\end{array}} \right.$
Câu 4. (1,0 điểm) Tính tích phân $\ I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} + \ln ({x^2}.{e^x})}}{{{{(x + 2)}^2}}}dx} .$
Câu 5. (1 điểm)  Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh $\ AB = 2a,BD = AC\sqrt 3 .$ Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SD. Góc giữa mặt phẳng (AMC) và mặt phẳng (ABCD) bằng $\ {30^0}.$ Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB và CM.
Câu 6. (1,0 điểm): Cho x, y là các số thực thỏa mãn $\ {({x^2} + {y^2} + 1)^2} + 3{x^2}{y^2} + 1 = 4{x^2} + 5{y^2}.$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\ P = \frac{{{x^2} + 2{y^2} - 3{x^2}{y^2}}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}.$
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2);  B(3;4) và đường thẳng (d) : y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho $\ \widehat {MAN} = {60^0}.$
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(2;-1;0), đường thẳng $\ d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{{ - 1}}$ và mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0. Gọi B là giao điểm của d và (P). Tìm tọa độ điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC vuông tại B và $\ AC = \sqrt {230} .$
Câu 9.a (1,0 điểm) Trong tập số phức, tìm hai số phức $\ {z_1};{z_2}$ thỏa mãn $\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4{z_1} - 3{i^{2013}} = i{z_1} + 5}\\
{\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}} - z_1^{2013} = 4}
\end{array}} \right.$
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi E, F là chân đường cao từ B và C. Đỉnh A(3; -7), trung điểm của BC là điểm M(-2;3) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có phương trình $\ {(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} = 9.$ Tìm tọa độ B và C.
Câu 8.b (1,0 điểm)  Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với đỉnh A(4;0;0) B thuộc mặt phẳng (Oxy), C thuộc tia Oz. Gọi G là trọng tâm tam giác OAB. Tìm điểm M thuộc AC sao cho$\ OM \bot GM$, biết rằng $\ OB = 8,\widehat {AOB} = {60^0},$  thể tích khối chóp OABC bằng 8 và B có hoành độ và tung độ dương.
Câu 9.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình $\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} - {3^{2 - y}} + {{\log }_2}\frac{x}{{2 - y}} = 0}\\
{{y^2} + 11y - xy + 2x + 1 = 0}
\end{array}} \right.$

 --------------------Hết------------------
ĐÁP ÁN

Câu 1 (2,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY

Câu 2 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY

Câu 3 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY

Câu 4 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY

Câu 5 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 6 (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
-----------------------------------------
Câu 7.a (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 8.a (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 9.a (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
-----------------------------------------
Câu 7.b (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 8.b (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY
Câu 9.b (1,0 điểm) Tham khảo tại ĐÂY

                       

 (Hẹn gặp lại các bạn ở Đề thi thử số 4 - THTT số438 - Tháng 12...)

Câu 9.b (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 9.b Điều kiện: $\frac{x}{2-y}>0$
•Xét$\left\{ \begin{align}
& x>0 \\
& 2-y>0 \\
\end{align} \right..$ Từ PT (1) ta có: ${{3}^{x}}+{{\log }_{2}}x={{3}^{2-y}}+{{\log }_{2}}\left( 2-y \right)$

Câu 8.b (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 8.b 

Gọi $\ B\left( {a;b;0} \right) \Rightarrow O{B^2} = {a^2} + {b^2} = 8;\,\overrightarrow {OA}  = \left( {4;0;0} \right);\,\overrightarrow {OB}  = \left( {a;b;0} \right).$

Câu 7.b (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 7.b Ta có$\widehat{AEH}+\widehat{AFH}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}$
$\Rightarrow \square AEHF$ nội tiếp đường tròn tâm I(3 ;-4) là trung điểm của AH

$\Rightarrow H\left( 2{{x}_{I}}-{{x}_{A}};2{{y}_{I}}-{{y}_{A}} \right)=\left( 3;-4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 0;3 \right)$ $\Rightarrow \left( BC \right):y-3=0$

Câu 9.a (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 9.a Do $\ {i^{2013}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1006}}.i = i.$
$\  \Rightarrow PT\left( 1 \right) \Leftrightarrow {z_1}\left( {4 - i} \right) = 5 + 3i \Leftrightarrow {z_1} = \frac{{5 + 3i}}{{4 - i}} = 1 + i = \sqrt 2 \left( {cos\frac{\pi }{4} + i\,\sin \frac{\pi }{4}} \right).$

Câu 8.a (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 8.a Gọi C(a;b;c). Do $C\in \left( P \right)\Rightarrow a+b+c-3=0\Leftrightarrow c=3-a-b$
Tọa độ giao điểm B là nghiệm của HPT$\left\{ \begin{align}
  & x+y+z-3=0 \\
 & \frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1} \\
\end{align} \right.\Rightarrow B\left( 1;1;1 \right)$

Giải phương trình $\ {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{1 - {x^2}}} = 2.$

Đề bài: Giải phương trình $\ {\log _3}\left( {x + 2} \right) + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{1 - {x^2}}} = 2.$
Giải: Điều kiện $\ x >  - 2.$
Ta có: $\ PT \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 2} \right) = 2 - {5^{{x^2} - 1}} = u \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 = {3^u}\\
{x^2} = {\log _5}\left( {2 - u} \right) + 1
\end{array} \right.$

Câu 7.a (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 7.a

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MANB. Áp dụng ĐL:
  "Số đo góc ở tâm bằng 2 lần số đo cung" và "Số đo của cung bằng số đo góc chắn cung" ta có:

Câu 6 (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 6. Ta có: $\ {\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)^2} + 3{x^2}{y^2} + 1 = 4{x^2} + 5{y^2} \Leftrightarrow {y^2} - 3{x^2}{y^2} = {\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + 5.$

Câu 5 (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 5 Gọi H là trung điểm của AB ta có. Theo đề bài ta có: $\ SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow h = SH.$

- Trong (SHD), dựng MK//SH$\ K \in HD$
$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MK \bot \left( {ABCD} \right)\\
KH = KD
\end{array} \right.$
- Trong (ABCD) dựng $\ KL \bot AC\left( {L \in AC} \right).$
- Do $\ \left\{ \begin{array}{l}
KL \bot AC\\
MK \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow ML \bot AC.$
$\  \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AMC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {MLK} = {30^0}.$

Câu 4 (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 4 Ta có: $\ I = \int_1^2 {\frac{{{x^2} + x + 2\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} dx = \int_1^2 {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 3\left( {x + 2} \right) + 2 + 2\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} dx.$

Câu 3 (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 3. Điều kiện$\ \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - 3;\,x \ne 0\\
y > 0
\end{array} \right.$
Khi đó xét PT (1) ta có: $\ PT \Leftrightarrow \frac{{y + 2{x^2}}}{{xy}} = \frac{{3\left( {x + \sqrt y } \right)}}{{y + 2{x^2}}} \Leftrightarrow {\left( {y + 2{x^2}} \right)^2} = 3xy\left( {x + \sqrt y } \right).$

Câu 2 (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 2 Điều kiện$\ x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right).$
Khi đó: $\ PT \Leftrightarrow \left( {\sin \,x + 1} \right)\left( {\sin \,x + \sqrt 3 \,cos\,x} \right) + 2co{s^2}x = 0.$    

Câu 1 (Đề thi thử ĐH số 3 - Báo THTT số 437 tháng 11/2013)

Câu 1.1 Các em tự khảo sát và vẽ đồ thị nhé.
Câu 1.2 Ta có tâm đối xứng I(1;-1)$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OI:y =  - x\\
OI = \sqrt 2
\end{array} \right.$ Do tứ giác OABI là hình thang nên $\ \overrightarrow {AB}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {OI} .$

Bất đẳng thức - Trích đề thi thử ĐH (sưu tầm)

Đề bài: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa điều kiện $\dfrac{4a}{b}\left(1+\dfrac{2c}{b} \right)+\dfrac{b}{a} \left(1+\dfrac{c}{a} \right)=6$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\ P = \frac{{bc}}{{a\left( {b + 2c} \right)}} + 2\left[ {\frac{{ac}}{{b\left( {c + a} \right)}} + \frac{{ab}}{{c\left( {2a + b} \right)}}} \right].$
Giải:
Đặt $x= 2a,y=b,z=4c$. Khi đó, $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn:

Tích phân - Trích đề thi thử ĐH (sưu tầm)

Đề bài: Tính tích phân : $I = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi }{2}} x\sin x \left(5\sin x +x\cos x \right)\text{d}x. $
Giải:
Tích phân đã cho viết thành: $I = \displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi }{2}}(5x\sin^2x+x^2\sin x\cos x)dx$

Phương trình vô tỷ - Trích đề thi thử ĐH (sưu tầm)

Đề bài: Giải  phương trình $\ \left(2 - \dfrac{4}{x} \right)\left(\sqrt{x-1}-1 \right)=\dfrac{9x^2-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}.$
Giải:
Điều kiện $x\geq 1$\[\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right) = \frac{{9{x^2} - 14x + 25}}{{3x + 3 + 4\sqrt {2x - 1} }}\]\

PT lượng giác - Trích đề thi thử ĐH (sưu tầm)

Đề bài: Giải phương trình $ \dfrac{\sin x \left(3-2\cos x \right)+\cos 2x \left(2\cos x +1 \right)-2}{\cos 3x}=1.$
Giải:
Điều kiện : $\ \cos 3x \ne 0 \iff 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \iff x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\left( {k \in Z} \right).$

Hàm số - Trích đề thi thử ĐH (sưu tầm)

Đề bài: Cho hàm số $ y= \dfrac{2x+m}{x-2}$ $(H_{m})$,$m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d : y=x+3$ cắt đồ thị $(H_{m})$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tích khoảng cách từ hai điểm $A$ và $B$ đến đường thẳng $\Delta: x+2y-1=0$ bằng 2.
Giải:
PT hoành độ giao điểm của $\left(H_{m} \right)$ và $d$ là :
$\frac{2x+m}{x-2}=x+3\quad\left(1 \right)  
                \iff \begin{cases}
x\neq 2 & \text{  }  \\ x^{2}-x-m-6=0
 & \text{  }
\end{cases}\quad\left(2 \right).$

Maple (Maple 17) – Phần mềm hỗ trợ dạy và học Toán học

Maple là một gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều mục đích. Nó phát triển lần đầu tiên vào năm 1980 bởi Nhóm Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo, Ontario, Canada.

Cabri II Plus 1.4.3 – Phần mềm Hình học động

Phần mềm Hình học động Cabri II Plus là kết quả nghiên cứu của phòng nghiên cứu cấu trúc rời rạc và phương pháp giảng dạy – Trung tâm nghiên cứu khoa học quốc gia – trường Đại học tổng hợp Joseph Fourier Grenoble (Pháp). Với các thuộc tính “động”, “cấu trúc”, “liên tục” và “tương tác”, phần mềm Cabri II Plus tạo nên một môi trường kiểu vi thế giới với những hình ảnh sinh động hỗ trợ rất đắc lực trong việc dạy học hình học.

Bước đột phá - Hỏi, đáp bài tập Toán ngay trên Hmath360.blogspot.com

Hmath360 từ lâu đã là nơi ghé thăm của nhiều bạn giáo viên và học sinh cả nước.
Nếu như xưa nay Hmath360 chỉ dừng lại ở các tính năng:

• Lưu trữ có sắp xếp các bài tập Toán hay.
• Những chia sẻ về kinh nghiệm dạy, học ở nhà trường.
• Thể hiện góc nhìn về con người, công nghệ...
• Cập nhật các đề thi thử, thi thật, đề kiểm tra, đề cương ôn tập học kỳ các lớp.