Đề bài:
a) CMR: Với hai số thực không âm a, b ta luôn có $\ \sqrt {1 + a} + \sqrt {1 + b} \ge 1 + \sqrt {1 + a + b} .$
b) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện$\ \sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt {1 + 2y} + \sqrt {1 + 2z} = 5.$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\ M = 2{x^3} + {y^3} + {z^3}.$
Giải:
a) Với bài này các bạn chỉ cần biến đổi tương đương rất đơn giản thôi.
$\ \sqrt {1 + a} + \sqrt {1 + b} \ge 1 + \sqrt {1 + a + b} \Leftrightarrow 2 + a + b + 2\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} \ge 2 + a + b + 2\sqrt {1 + a + b} .$
$\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} \ge \sqrt {1 + a + b} \Leftrightarrow 1 + a + b + ab \ge 1 + a + b \Leftrightarrow ab \ge 0\left( * \right).$
(*) luôn đúng vì a, b không âm. Do đó BĐT đã cho luôn đúng.
Thứ Bảy, 29 tháng 3, 2014
Thứ Năm, 27 tháng 3, 2014
Giải phương trình: $\ 4\left( {\sqrt {x + 1} - 3} \right){x^2} + \left( {13\sqrt {x + 1} - 8} \right)x - 4\sqrt {x - 1} - 3 = 0.$
Đề bài:(Câu hỏi của bạn Rain Lê hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải phương trình: $\ 4\left( {\sqrt {x + 1} - 3} \right){x^2} + \left( {13\sqrt {x + 1} - 8} \right)x - 4\sqrt {x - 1} - 3 = 0.$
Phân tích và Giải:
Đứng trước bài toán phương trình vô tỉ hình thức "đơn giản" nhưng "rối đội hình" thế này thì công việc ưu tiên là "mò nghiệm" bằng máy tính là số 1.
Và sau một hồi nhấp nháy cái máy tính ta biết được phương trình có nghiệm duy nhất x=5/4.
Lúc đó ta sẽ có giá trị của: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} = \frac{3}{2}\\
\sqrt {x - 1} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Đọc tiếp
Giải phương trình: $\ 4\left( {\sqrt {x + 1} - 3} \right){x^2} + \left( {13\sqrt {x + 1} - 8} \right)x - 4\sqrt {x - 1} - 3 = 0.$
Phân tích và Giải:
Đứng trước bài toán phương trình vô tỉ hình thức "đơn giản" nhưng "rối đội hình" thế này thì công việc ưu tiên là "mò nghiệm" bằng máy tính là số 1.
Và sau một hồi nhấp nháy cái máy tính ta biết được phương trình có nghiệm duy nhất x=5/4.
Lúc đó ta sẽ có giá trị của: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} = \frac{3}{2}\\
\sqrt {x - 1} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Thứ Tư, 26 tháng 3, 2014
Bài BĐT thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2014.
Đề bài: (Bài BĐT thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2014)
Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: $\ x + 2y - z \ge 0.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\ P = \frac{x}{{10y + z}} + \frac{y}{{x + y + z}} + \frac{{x + 2y}}{{2x + 3y}}.$
Giải:
Ta có: $\ x + 2y - z \ge 0 \Leftrightarrow z \le x + 2y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z \le 2x + 3y\\
10y + z \le x + 12y
\end{array} \right.$
Đọc tiếp
Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: $\ x + 2y - z \ge 0.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\ P = \frac{x}{{10y + z}} + \frac{y}{{x + y + z}} + \frac{{x + 2y}}{{2x + 3y}}.$
Giải:
Ta có: $\ x + 2y - z \ge 0 \Leftrightarrow z \le x + 2y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z \le 2x + 3y\\
10y + z \le x + 12y
\end{array} \right.$
Bài tích phân đề thi HSG Nam Định - 2014
Đề bài: (Câu 5 đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2014)
Tính $\ I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{{x^2}{{\ln }^2}x + \left( {x + 1} \right)\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx.$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right) + \ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx = \int\limits_e^{{e^2}} {\left[ {1 + \frac{{\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} \right]} dx = \left( {{e^2} - e} \right) + J.$
Đọc tiếp
Tính $\ I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{{x^2}{{\ln }^2}x + \left( {x + 1} \right)\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx.$
Giải:
Ta có: $\ I = \int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right) + \ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} dx = \int\limits_e^{{e^2}} {\left[ {1 + \frac{{\ln x + 1}}{{x\ln x\left( {x\ln x + 1} \right)}}} \right]} dx = \left( {{e^2} - e} \right) + J.$
$\ \frac{{a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{b\left( {{b^2} - ca} \right)}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{c\left( {{c^2} - ab} \right)}}{{2{c^2} + ab}} \ge 0.$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hảithượngy TôngtâmLĩnh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Chứng minh rằng: Với mọi số thực dương a, b, c ta có: $\ \frac{{a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{b\left( {{b^2} - ca} \right)}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{c\left( {{c^2} - ab} \right)}}{{2{c^2} + ab}} \ge 0.$
Giải:
Ta có: $\ \frac{{a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{2{a^2} + bc}} \ge \frac{{a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{2{a^2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2}}} = \frac{{2a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Đọc tiếp
Chứng minh rằng: Với mọi số thực dương a, b, c ta có: $\ \frac{{a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{2{a^2} + bc}} + \frac{{b\left( {{b^2} - ca} \right)}}{{2{b^2} + ca}} + \frac{{c\left( {{c^2} - ab} \right)}}{{2{c^2} + ab}} \ge 0.$
Giải:
Ta có: $\ \frac{{a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{2{a^2} + bc}} \ge \frac{{a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{2{a^2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2}}} = \frac{{2a\left( {{a^2} - bc} \right)}}{{4{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Thứ Bảy, 22 tháng 3, 2014
Bài số học lớp 5 - LT vào Amsterdam.
Đề bài: (Câu hỏi của cháu Alice Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng nhỏ nhất và tổng các chữ số của chúng là 71.
Giải:
Bước 1 - Đi tìm số các chữ số của 2 số cần tìm:
Vì số tự nhiên có 1 chữ số lớn nhất là 9 mà 71 : 9 = 7,89
Do đó số tất cả các chữ số của 2 số đó phải từ 8 trở đi.
Nhưng vì tổng của chúng phải nhỏ nhất nên số các chữ số phải nhỏ nhất...
Do vậy tổng các chữ số của 2 số là 8.
Vì 8=7+1=6+2=5+3=4+4 nên để tổng của chúng nhỏ nhất thì chúng phải là những số chỉ có 4 chữ số.
Bước 2 - Tìm cụ thể 2 số đó:
Rất may bài này là số 71....
Vì tổng 8 chữ số của chúng là 71, trong khi tổng tối đa của chúng là 9.8=72=71+1...
Như vậy ta thấy số các chữ số tạo thành 2 số cần tìm phải là bộ (9,9,9,9,9,9,9,8).
Nhưng để tổng nhỏ nhất thì ta có 1 số sẽ là 9999, số còn lại là 8999, do có số 8 đứng đầu sẽ nhỏ nhất).
Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng nhỏ nhất và tổng các chữ số của chúng là 71.
Giải:
Bước 1 - Đi tìm số các chữ số của 2 số cần tìm:
Vì số tự nhiên có 1 chữ số lớn nhất là 9 mà 71 : 9 = 7,89
Do đó số tất cả các chữ số của 2 số đó phải từ 8 trở đi.
Nhưng vì tổng của chúng phải nhỏ nhất nên số các chữ số phải nhỏ nhất...
Do vậy tổng các chữ số của 2 số là 8.
Vì 8=7+1=6+2=5+3=4+4 nên để tổng của chúng nhỏ nhất thì chúng phải là những số chỉ có 4 chữ số.
Bước 2 - Tìm cụ thể 2 số đó:
Rất may bài này là số 71....
Vì tổng 8 chữ số của chúng là 71, trong khi tổng tối đa của chúng là 9.8=72=71+1...
Như vậy ta thấy số các chữ số tạo thành 2 số cần tìm phải là bộ (9,9,9,9,9,9,9,8).
Nhưng để tổng nhỏ nhất thì ta có 1 số sẽ là 9999, số còn lại là 8999, do có số 8 đứng đầu sẽ nhỏ nhất).
Đáp số: 8999 và 9999
NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT VỀ TUYỂN SINH ĐH-CĐ 2014 PHIÊN BẢN ONLINE.
Cái này ngày xưa thầy phải đi mua cuốn phôtô, vì không có nhiều tiền. Và cũng không phải dùng dài hạn.
Mỗi năm nó lại có một cuốn mới. Vậy nên các em tải online về tại ĐÂY nhé!
CHÚC CÁC EM CHỌN ĐƯỢC TRƯỜNG ĐÚNG KHẢ NĂNG VÀ MONG MUỐN.
Mỗi năm nó lại có một cuốn mới. Vậy nên các em tải online về tại ĐÂY nhé!
CHÚC CÁC EM CHỌN ĐƯỢC TRƯỜNG ĐÚNG KHẢ NĂNG VÀ MONG MUỐN.
Thứ Năm, 20 tháng 3, 2014
Thứ Tư, 19 tháng 3, 2014
Thứ Hai, 17 tháng 3, 2014
Bài PT SIÊU VIỆT - Thi thử ĐHSP Hà Nội lần IV ngày 16/03/2014.
Đề bài:
Giải phương trình:${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x+\frac{9}{4} \right)={{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}4x$ (*)
Giải:
Điều kiện: $0<x\ne 2.$
Đọc tiếp
Giải phương trình:${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x+\frac{9}{4} \right)={{\log }_{2}}x.{{\log }_{2}}4x$ (*)
Giải:
Điều kiện: $0<x\ne 2.$
Có thể dùng PP tiếp tuyến nhưng hay nhất vẫn là dùng CÔSI đánh giá.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Lười Mèo hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3.
CMR:$\frac{3a-{{a}^{2}}}{4-bc}+\frac{3b-{{b}^{2}}}{4-ca}+\frac{3c-{{c}^{2}}}{4-ab}\ge 2abc\left( * \right)$
Giải:
Ta có $\ \left( * \right)\Leftrightarrow \frac{3-a}{4bc-{{\left( bc \right)}^{2}}}+\frac{3-b}{4ca-{{\left( ca \right)}^{2}}}+\frac{3-c}{4ab-{{\left( ab \right)}^{2}}}\ge 2.$
$\ \Leftrightarrow \frac{b+c}{4bc-{{\left( bc \right)}^{2}}}+\frac{c+a}{4ca-{{\left( ca \right)}^{2}}}+\frac{a+b}{4ab-{{\left( ab \right)}^{2}}}\ge 2\left( 1 \right).$
Đọc tiếp
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3.
CMR:$\frac{3a-{{a}^{2}}}{4-bc}+\frac{3b-{{b}^{2}}}{4-ca}+\frac{3c-{{c}^{2}}}{4-ab}\ge 2abc\left( * \right)$
Giải:
Ta có $\ \left( * \right)\Leftrightarrow \frac{3-a}{4bc-{{\left( bc \right)}^{2}}}+\frac{3-b}{4ca-{{\left( ca \right)}^{2}}}+\frac{3-c}{4ab-{{\left( ab \right)}^{2}}}\ge 2.$
$\ \Leftrightarrow \frac{b+c}{4bc-{{\left( bc \right)}^{2}}}+\frac{c+a}{4ca-{{\left( ca \right)}^{2}}}+\frac{a+b}{4ab-{{\left( ab \right)}^{2}}}\ge 2\left( 1 \right).$
Thứ Sáu, 14 tháng 3, 2014
Kĩ thuật chọn điểm rơi để dồn biến và dùng hàm để tìm Min, Max.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nhớ Về Em hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$\ Hmath = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }}.$
Giải:
Hướng dẫn tư duy: Các bạn thấy vai trò của x, y, z trong điều kiện và trong biểu thức hoàn toàn như nhau.Ta giả sử x = y = z và ta tìm được x = y = z = 1 và dự đoán Min (Hmath) = 1.
Ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức để dấu "=" xảy ra với x = y = z = 1.
Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi cho hai số ta có:
$\ \sqrt {{x^3} + 8} = \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \le \frac{{x + 2 + {x^2} - 2x + 4}}{2} = \frac{{{x^2} - x + 6}}{2}.$
Đọc tiếp
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$\ Hmath = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }}.$
Giải:
Hướng dẫn tư duy: Các bạn thấy vai trò của x, y, z trong điều kiện và trong biểu thức hoàn toàn như nhau.Ta giả sử x = y = z và ta tìm được x = y = z = 1 và dự đoán Min (Hmath) = 1.
Ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức để dấu "=" xảy ra với x = y = z = 1.
Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi cho hai số ta có:
$\ \sqrt {{x^3} + 8} = \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \le \frac{{x + 2 + {x^2} - 2x + 4}}{2} = \frac{{{x^2} - x + 6}}{2}.$
Thứ Hai, 10 tháng 3, 2014
Phân chia khối đa diện để XỬ LÝ vấn đề thể tích.
Đề bài: (Đề thi thử ĐH khối A, A1 năm 2014 của Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh ngày thi 08/03/2014)
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên tia Ax và Cy cùng phía và vuông góc với (P) lần lượt lấy các điểm M, N sao cho CN = a, AM = x (0<x<a).
Chứng minh rằng: $\ BD \bot \left( {ACNM} \right).$
Tính x để thể tích tứ diện BDMN là $\ \frac{{{a^3}}}{4}.$
Giải:
- Chứng minh rằng: $\ BD \bot \left( {ACNM} \right).$
$\ Ax \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AM \bot BD\left( 1 \right).$ $\ BD \bot AC;\,AC,AM \subset \left( {ACNM} \right)\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có $\ BD \bot \left( {ACNM} \right).$
Đọc tiếp
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên tia Ax và Cy cùng phía và vuông góc với (P) lần lượt lấy các điểm M, N sao cho CN = a, AM = x (0<x<a).
Chứng minh rằng: $\ BD \bot \left( {ACNM} \right).$
Tính x để thể tích tứ diện BDMN là $\ \frac{{{a^3}}}{4}.$
Giải:
$\ Ax \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AM \bot BD\left( 1 \right).$ $\ BD \bot AC;\,AC,AM \subset \left( {ACNM} \right)\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có $\ BD \bot \left( {ACNM} \right).$
LƯỢNG GIÁC HÓA - Công cụ mạnh không kém HÀM.
Đề bài: (Đề thi thử ĐH khối A, A1 năm 2014 của Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh ngày thi 08/03/2014)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = xyz.
Chứng minh rằng: $\ xy + yz + zx \ge 3 + \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{y^2} + 1} + \sqrt {{z^2} + 1} .$
Giải:
Thầy xin chú ý các em khai thác các dữ kiện kiểu: $\ \left[ \begin{array}{l}
x + y + z = xyz\\
xy + yz + zx = 1
\end{array} \right.$
+ Nếu là: x + y + z = xyz thì đặt x = tanA, y = tanB, z = tanC.
Đọc tiếp
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = xyz.
Chứng minh rằng: $\ xy + yz + zx \ge 3 + \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{y^2} + 1} + \sqrt {{z^2} + 1} .$
Giải:
Thầy xin chú ý các em khai thác các dữ kiện kiểu: $\ \left[ \begin{array}{l}
x + y + z = xyz\\
xy + yz + zx = 1
\end{array} \right.$
+ Nếu là: x + y + z = xyz thì đặt x = tanA, y = tanB, z = tanC.
GIẢI HỆ không đơn thuần chỉ là "HÀM ĐẶC TRƯNG"
Đề bài: (Đề thi thử ĐH khối A, A1 năm 2014 của Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh ngày thi 08/03/2014)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x{y^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right) = 3\sqrt {{y^2} + 9} + 3y\,\,\,(1)\\
\left( {3x - 1} \right)\sqrt {{x^2}y + xy - 5} - 4{x^3} + 3{x^3}y - 7x = 0\,\,\,(2)
\end{array} \right.\left( {x;y \in R} \right).$
Giải: Bài toán gồm 2 công đoạn là (Dùng hàm đặc trưng quy về một biến + Liên hợp để có thừa số chung)
- Dùng hàm đặc trưng quy về một biến:
Do y = 0 không là nghiệm nên ta chia cả 2 vế của (1) cho $y^2$ ta được:
$\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right) = \frac{3}{{{y^2}}}\sqrt {{y^2} + 9} + \frac{{3y}}{{{y^2}}}\, \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + 1} + x = \frac{3}{y}\sqrt {{{\left( {\frac{3}{y}} \right)}^2} + 1} + \frac{3}{y}.$
Đọc tiếp
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x{y^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right) = 3\sqrt {{y^2} + 9} + 3y\,\,\,(1)\\
\left( {3x - 1} \right)\sqrt {{x^2}y + xy - 5} - 4{x^3} + 3{x^3}y - 7x = 0\,\,\,(2)
\end{array} \right.\left( {x;y \in R} \right).$
Giải: Bài toán gồm 2 công đoạn là (Dùng hàm đặc trưng quy về một biến + Liên hợp để có thừa số chung)
- Dùng hàm đặc trưng quy về một biến:
Do y = 0 không là nghiệm nên ta chia cả 2 vế của (1) cho $y^2$ ta được:
$\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right) = \frac{3}{{{y^2}}}\sqrt {{y^2} + 9} + \frac{{3y}}{{{y^2}}}\, \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + 1} + x = \frac{3}{y}\sqrt {{{\left( {\frac{3}{y}} \right)}^2} + 1} + \frac{3}{y}.$
Tối ưu hóa việc sử dụng ĐL Viet trong bài toán phụ KSHS.
Đề bài: (Đề thi thử ĐH khối A, A1 năm 2014 của Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh ngày thi 08/03/2014)
Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của m đường thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị hàm số $\ y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để ba điểm A, B, O tạo thành một tam giác thỏa mãn: $\ \frac{1}{{OA}} + \frac{1}{{OB}} = 1.$
Giải:
- Chứng minh A và B phân biệt:
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\\
y = - x + m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) = {x^2} - mx + m - 2\\
y = - x + m
\end{array} \right.$
Đọc tiếp
Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của m đường thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị hàm số $\ y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để ba điểm A, B, O tạo thành một tam giác thỏa mãn: $\ \frac{1}{{OA}} + \frac{1}{{OB}} = 1.$
Giải:
- Chứng minh A và B phân biệt:
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\\
y = - x + m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) = {x^2} - mx + m - 2\\
y = - x + m
\end{array} \right.$
Viết PT mặt phẳng (P) vuông góc với $\Delta _1$ và cắt Oz và $\Delta _2$ theo một đoạn thẳng có độ dài là $\ \sqrt 5 .$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Đừng Làm Em Đau hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho$\ \left( {{\Delta _1}} \right):\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1};\,\left( {{\Delta _2}} \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{1}.$
Viết PT mặt phẳng (P) vuông góc với $\Delta _1$ và cắt Oz và $\Delta _2$ theo một đoạn thẳng có độ dài là $\ \sqrt 5 .$
Giải:
Do $\ \left( P \right) \bot \left( {{\Delta _1}} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = {\overrightarrow u _{\left( {{\Delta _1}} \right)}} = \left( {2; - 1;1} \right) \Rightarrow \left( P \right):2x - y + z + m = 0.$
Tọa độ giao điểm A của (P) với Oz là nghiệm của HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l}
2x - y + z + m = 0\\
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0; - m} \right).$
Đọc tiếp
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho$\ \left( {{\Delta _1}} \right):\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1};\,\left( {{\Delta _2}} \right):\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 2}}{1}.$
Viết PT mặt phẳng (P) vuông góc với $\Delta _1$ và cắt Oz và $\Delta _2$ theo một đoạn thẳng có độ dài là $\ \sqrt 5 .$
Giải:
Do $\ \left( P \right) \bot \left( {{\Delta _1}} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = {\overrightarrow u _{\left( {{\Delta _1}} \right)}} = \left( {2; - 1;1} \right) \Rightarrow \left( P \right):2x - y + z + m = 0.$
Tọa độ giao điểm A của (P) với Oz là nghiệm của HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l}
2x - y + z + m = 0\\
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;0; - m} \right).$
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $\ \sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{8 + x}} = m.$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Mỹ Dung Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $\ \sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{8 + x}} = m.$
Giải:
Bài toán có 2 hướng giải cùng dẫn đến một kết quả như sau:
Cách 1: (PP dùng hàm giải trực tiếp)
Đặt $\ f\left( x \right) = \sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{8 + x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {8 + x} \right)}^2}}}}} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8 + x = 8 - x\\
8 + x = x - 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.$
Đọc tiếp
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $\ \sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{8 + x}} = m.$
Giải:
Bài toán có 2 hướng giải cùng dẫn đến một kết quả như sau:
Cách 1: (PP dùng hàm giải trực tiếp)
Đặt $\ f\left( x \right) = \sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{8 + x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {8 + x} \right)}^2}}}}} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8 + x = 8 - x\\
8 + x = x - 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.$
Thứ Năm, 6 tháng 3, 2014
Tìm Min của: $\ P = \frac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}.$
Đề bài: (Bài của bạn Như Mập Hà hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
abc = 1
\end{array} \right.$. Tìm Min của: $\ P = \frac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}.$
Giải:
Ta có: $\ P = \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {bc} \right)}^2}}}{{b + c}} + \frac{{{{\left( {ca} \right)}^2}}}{{c + a}} + \frac{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}{{a + b}}.$
Đọc tiếp
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
abc = 1
\end{array} \right.$. Tìm Min của: $\ P = \frac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}.$
Giải:
Ta có: $\ P = \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {bc} \right)}^2}}}{{b + c}} + \frac{{{{\left( {ca} \right)}^2}}}{{c + a}} + \frac{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}{{a + b}}.$
Thứ Tư, 5 tháng 3, 2014
Thi thử là TỐT nhưng đừng quá ẢO TƯỞNG về kỳ thi thật.
Đề bài: (Bài BĐT thi thử ĐH lần thứ 15 của Moon.vn làm học sinh ảo tưởng về kỳ thi thật)
Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: ab + a + b = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\ P = \frac{{4a}}{{b + 1}} + \frac{{4b}}{{a + 1}} + 2ab - \sqrt {7 - 3ab} .$
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
$\ 3 = ab + a + b \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} + \left( {a + b} \right) \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 12 \ge 0.$
$\ \Leftrightarrow \left( {a + b - 2} \right)\left( {a + b + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le a + b < 3.$
Đọc tiếp
Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: ab + a + b = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\ P = \frac{{4a}}{{b + 1}} + \frac{{4b}}{{a + 1}} + 2ab - \sqrt {7 - 3ab} .$
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
$\ 3 = ab + a + b \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} + \left( {a + b} \right) \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 12 \ge 0.$
$\ \Leftrightarrow \left( {a + b - 2} \right)\left( {a + b + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le a + b < 3.$
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{2} - 8{y^2} + \frac{1}{y} - \frac{4}{x} = 3x - \sqrt {x - 1} - 12y + 2\sqrt {y - \frac{1}{4}} \,\,\left( 1 \right)\\ {x^2} + {y^2} - 4xy - y - 2 = 0\,\,\left( 2 \right)\,\,\, \end{array} \right.$
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Như Mập Hà hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{2} - 8{y^2} + \frac{1}{y} - \frac{4}{x} = 3x - \sqrt {x - 1} - 12y + 2\sqrt {y - \frac{1}{4}} \,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} + {y^2} - 4xy - y - 2 = 0\,\,\left( 2 \right)\,\,\,
\end{array} \right.$
Giải:
Điều kiện: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
y \ge \frac{1}{4}
\end{array} \right.$
Xét phương trình (1) ta có: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 16{y^2}}}{2} + \frac{{x - 4y}}{{xy}} = 3\left( {x - 4y} \right) - \left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt {4y - 1} } \right).$
Đọc tiếp
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{2} - 8{y^2} + \frac{1}{y} - \frac{4}{x} = 3x - \sqrt {x - 1} - 12y + 2\sqrt {y - \frac{1}{4}} \,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} + {y^2} - 4xy - y - 2 = 0\,\,\left( 2 \right)\,\,\,
\end{array} \right.$
Giải:
Điều kiện: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
y \ge \frac{1}{4}
\end{array} \right.$
Xét phương trình (1) ta có: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 16{y^2}}}{2} + \frac{{x - 4y}}{{xy}} = 3\left( {x - 4y} \right) - \left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt {4y - 1} } \right).$
Thứ Ba, 4 tháng 3, 2014
Một trong những bài đổi biến số đặc biệt.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Mon Kulz hỏi trên facebook Trợ Guýp Toán Học)
Tính $\ I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \,x\sin \,2xdx}}{{{e^x} + 1}}} .$
Đọc tiếp
Tính $\ I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \,x\sin \,2xdx}}{{{e^x} + 1}}} .$
Giải:
Đặt $\ t = - x \Leftrightarrow dx = - dt;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = - \frac{\pi }{2};\,x = - \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}.$
Liên hệ giữa Hình Giải tích Oxy thi LTĐH và Hình học Lớp 9
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Khánh Linh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Trong hệ trục oxy cho tam giác ABC có A(-2;-1) trực tâm H(2;1) và$\ BC = \sqrt {20} .$ Gọi B', C' là chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C . Lập phương trình đường thẳng BC , biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng x-2y-1=0; tung độ điểm M >0 và đường thẳng B'C' đi qua điểm N(3;-4).
Giải:
- Phát hiện và chứng minh yếu tố hình học cấp 2 (lớp 9):
+ Tứ giác BCC'B nội tiếp:
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
BB' \bot AC\\
BC' \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BC'C} = \widehat {BB'C} = {90^0}.$
Vậy tứ giác BCC'B' nội tiếp đường tròn (M, MB).
+ Tứ giác AB'HC' nội tiếp:
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
BB' \bot AC\\
BC' \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {AC'H} = \widehat {AB'H} = {90^0}.$
Vậy tứ giác AB'HC' nội tiếp đường tròn (I, AH).
Đọc tiếp
Trong hệ trục oxy cho tam giác ABC có A(-2;-1) trực tâm H(2;1) và$\ BC = \sqrt {20} .$ Gọi B', C' là chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C . Lập phương trình đường thẳng BC , biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng x-2y-1=0; tung độ điểm M >0 và đường thẳng B'C' đi qua điểm N(3;-4).
Giải:
- Phát hiện và chứng minh yếu tố hình học cấp 2 (lớp 9):
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
BB' \bot AC\\
BC' \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BC'C} = \widehat {BB'C} = {90^0}.$
Vậy tứ giác BCC'B' nội tiếp đường tròn (M, MB).
+ Tứ giác AB'HC' nội tiếp:
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
BB' \bot AC\\
BC' \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {AC'H} = \widehat {AB'H} = {90^0}.$
Vậy tứ giác AB'HC' nội tiếp đường tròn (I, AH).
Dành cho các bạn đang bắt đầu học về Bất Đẳng Thức.
Bất đẳng thức Cauchy
$\forall x, y \geq 0$ ta có : $\dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y.$
$\forall x, y, z \geq 0$ ta có : $\dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z.$
*Chú ý, trong thực tế ta thường dùng dưới dạng $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ và $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}.$
Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Sử dụng dạng : $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ hoặc $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}.$
Đọc tiếp
$\forall x, y \geq 0$ ta có : $\dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y.$
$\forall x, y, z \geq 0$ ta có : $\dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z.$
*Chú ý, trong thực tế ta thường dùng dưới dạng $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ và $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}.$
Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Sử dụng dạng : $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ hoặc $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}.$
Thứ Hai, 3 tháng 3, 2014
Sử dụng PP Lượng Giác Hóa - Chứng minh Bất Đẳng Thức.
Đề bài: (Câu hỏi của bạn Con sẽđỗ hỏi trên facebook Hoc24/7)
Cho các số thực $\ x,y,z \in \left( {0;1} \right),\,xy + yz + zx = 1.$
Tìm GTNN của: $\ P = \frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}}.$
Giải:
Do $\ x,y,z \in \left( {0;1} \right),\,xy + yz + zx = 1.$ Nên ta đặt $\ x = \tan \frac{A}{2};\,y = \tan \frac{B}{2};\,z = \tan \frac{C}{2}.$
Đọc tiếp
Cho các số thực $\ x,y,z \in \left( {0;1} \right),\,xy + yz + zx = 1.$
Tìm GTNN của: $\ P = \frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}}.$
Giải:
Do $\ x,y,z \in \left( {0;1} \right),\,xy + yz + zx = 1.$ Nên ta đặt $\ x = \tan \frac{A}{2};\,y = \tan \frac{B}{2};\,z = \tan \frac{C}{2}.$
Chảy máu chất xám đã, đang diễn ra trong ngành giáo dục - ngành cần nhiều người tài nhất.
Một thầy giáo dạy toán tương lai mà thi đại học môn toán chỉ được có 2 điểm. Một cô giáo dạy hóa đi viết phương trình phản ứng trong khi phản ứng không xảy ra, vì khi thi đại học môn hóa chưa được nổi 3 điểm.
Đọc tiếp
Thứ Bảy, 1 tháng 3, 2014
Bài Bất Đẳng Thức Dành Cho Các Bạn Khối A, A1, B đây!
Đề bài: (Trích đề thi thử lần I - THPT Chu Văn An - Hà Nội - Khối A,A1,B - 23/02/2014)
Cho các số thực x và y thỏa mãn: $\ x + y = 2\sqrt {x + 2} + 3\sqrt {y - 2014} + 2012.$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $\ S = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{{2015 + 2xy\sqrt {x + y + 1} }}{{\sqrt {x + y + 1} }}.$
Giải:
Thầy sẽ có thêm bước suy luận để bài toán có căn cứ hơn, tự nhiên hơn và dễ hiểu hơn.
- Suy luận: Nhìn nhận cả ở biểu thức đã cho và đẳng thức giả thiết các em sẽ thấy cặp (x+y) đi liền với nhau. Các em sẽ nghĩ ngay đến việc đặt biến phụ t = x + y + C (C là hằng số).
Tuy nhiên vế phải của đẳng thức đã cho khá phức tạp (Đều có căn bậc hai). Đến đây ta có một mấu chốt như sau: "Sử dụng Côsi sao cho hệ số của x và y phải như nhau". Để đảm bảo cặp (x+y) đi với nhau.
- Dùng hệ số bất định, đi tìm "sự thật":
Giả sử tồn tại 2 số thực dương$\ \alpha ;\beta :\,x + y = \frac{1}{{\sqrt \alpha }}2\sqrt {\alpha \left( {x + 2} \right)} + \frac{3}{{2\sqrt \beta }}2\sqrt {\beta \left( {y - 2014} \right)} + 2012.$
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số ta có: $\ \alpha ;\beta :\,x + y \le \frac{{x + \alpha + 2}}{{\sqrt \alpha }} + \frac{{3\left( {y + \beta - 2014} \right)}}{{2\sqrt \beta }} + 2012.$
Để hệ số của x và y bằng nhau thì: $\ \frac{1}{{\sqrt \alpha }} = \frac{3}{{2\sqrt \beta }} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{\alpha }{\beta }} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta } = \frac{4}{9}.$
Ta chọn ngay $\ \left( {\alpha ;\beta } \right) = \left( {4;9} \right).$ Và ta có lời giải.
Đọc tiếp
Cho các số thực x và y thỏa mãn: $\ x + y = 2\sqrt {x + 2} + 3\sqrt {y - 2014} + 2012.$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: $\ S = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + \frac{{2015 + 2xy\sqrt {x + y + 1} }}{{\sqrt {x + y + 1} }}.$
Giải:
Thầy sẽ có thêm bước suy luận để bài toán có căn cứ hơn, tự nhiên hơn và dễ hiểu hơn.
- Suy luận: Nhìn nhận cả ở biểu thức đã cho và đẳng thức giả thiết các em sẽ thấy cặp (x+y) đi liền với nhau. Các em sẽ nghĩ ngay đến việc đặt biến phụ t = x + y + C (C là hằng số).
Tuy nhiên vế phải của đẳng thức đã cho khá phức tạp (Đều có căn bậc hai). Đến đây ta có một mấu chốt như sau: "Sử dụng Côsi sao cho hệ số của x và y phải như nhau". Để đảm bảo cặp (x+y) đi với nhau.
- Dùng hệ số bất định, đi tìm "sự thật":
Giả sử tồn tại 2 số thực dương$\ \alpha ;\beta :\,x + y = \frac{1}{{\sqrt \alpha }}2\sqrt {\alpha \left( {x + 2} \right)} + \frac{3}{{2\sqrt \beta }}2\sqrt {\beta \left( {y - 2014} \right)} + 2012.$
Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số ta có: $\ \alpha ;\beta :\,x + y \le \frac{{x + \alpha + 2}}{{\sqrt \alpha }} + \frac{{3\left( {y + \beta - 2014} \right)}}{{2\sqrt \beta }} + 2012.$
Để hệ số của x và y bằng nhau thì: $\ \frac{1}{{\sqrt \alpha }} = \frac{3}{{2\sqrt \beta }} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{\alpha }{\beta }} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta } = \frac{4}{9}.$
Ta chọn ngay $\ \left( {\alpha ;\beta } \right) = \left( {4;9} \right).$ Và ta có lời giải.
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)