Tối ưu hóa việc sử dụng ĐL Viet trong bài toán phụ KSHS.

Đề bài: (Đề thi thử ĐH khối A, A1 năm 2014 của Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh ngày thi 08/03/2014)
Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của m đường thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị hàm số $\ y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để ba điểm A, B, O tạo thành một tam giác thỏa mãn: $\ \frac{1}{{OA}} + \frac{1}{{OB}} = 1.$
Giải:
- Chứng minh A và B phân biệt:
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\\
y =  - x + m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right) = {x^2} - mx + m - 2\\
y =  - x + m

\end{array} \right.$

Để d cắt (C) tại 2 điểm A và B phân biệt thì:$\ \left\{ \begin{array}{l}
g\left( 1 \right) \ne 0\\
{\Delta _g} > 0
\end{array} \right.$
Nhưng do: $\ \left\{ \begin{array}{l}
g\left( 1 \right) =  - 1 \ne 0\\
{\Delta _g} = {m^2} - 4m + 8 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 \ge 4 > 0
\end{array} \right. \Rightarrow $ A, B phân biệt.
- Tìm m:
Gọi tọa độ của A và B lần lượt là: $\ \left\{ \begin{array}{l}
A\left( {{x_A};{y_A}} \right) = \left( {{x_A};m - {x_A}} \right)\\
B\left( {{x_B};{y_B}} \right) = \left( {{x_B};m - {x_B}} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OA = \sqrt {x_A^2 + y_A^2}  = \sqrt {2x_A^2 - 2m{x_A} + {m^2}} \\
OB = \sqrt {x_B^2 + y_B^2}  = \sqrt {2x_B^2 - 2m{x_B} + {m^2}}
\end{array} \right.$
Áp dụng ĐL Viet ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = m\\
{x_A}{x_B} = m - 2
\end{array} \right.$
$\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
OA = \sqrt {x_A^2 + y_A^2}  = \sqrt {2x_A^2 - 2{x_A}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + {{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {x_A^2 + x_B^2} \\
OB = \sqrt {x_B^2 + y_B^2}  = \sqrt {2x_B^2 - 2{x_B}\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + {{\left( {{x_A} + {x_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {x_A^2 + x_B^2}
\end{array} \right. \Rightarrow OA = OB = 2.$
$\  \Leftrightarrow 4 = O{A^2} = x_A^2 + x_B^2 = {\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^2} - 2{x_A}{x_B} = {m^2} - 2m + 4 \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 2
\end{array} \right.$
Khi m = 0 ta thấy A, O, B đều nằm trên Ox nên A, B, O thẳng hàng. Khi đó m = 2 là giá trị cần tìm.