Giải phương trình: $\ 4\left( {\sqrt {x + 1} - 3} \right){x^2} + \left( {13\sqrt {x + 1} - 8} \right)x - 4\sqrt {x - 1} - 3 = 0.$

Đề bài:(Câu hỏi của bạn Rain Lê hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải phương trình: $\ 4\left( {\sqrt {x + 1}  - 3} \right){x^2} + \left( {13\sqrt {x + 1}  - 8} \right)x - 4\sqrt {x - 1}  - 3 = 0.$
Phân tích và Giải:
Đứng trước bài toán phương trình vô tỉ hình thức "đơn giản" nhưng "rối đội hình" thế này thì công việc ưu tiên là "mò nghiệm" bằng máy tính là số 1.

Và sau một hồi nhấp nháy cái máy tính ta biết được phương trình có nghiệm duy nhất x=5/4.
Lúc đó ta sẽ có giá trị của: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1}  = \frac{3}{2}\\
\sqrt {x - 1}  = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$

Mặt khác bài toán có chứa hai căn thức nên rõ ràng yêu tiên hàng đầu là đặt ẩn phụ. Với hai đánh giá quan trọng là phương trình đã cho có nghiệm duy nhất nhờ máy tính và hai giá trị tính được của hai căn thức có trong bài toán giúp chúng ta thêm niềm tin vào việc "ẩn phụ hóa" bài toán.
Tuy nhiên vì đại lượng$\ \sqrt {x + 1} $chứa nhiều hơn đại lượng$\ \sqrt {x - 1} $nên ta sẽ cố gắng tăng thêm "nồng độ" cho đại lượng$\ \sqrt {x + 1} $bằng một cách nhìn trực giác về hằng đẳng thức núp đằng sau đại lượng:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
 - 4\sqrt {x - 1}  - 3 = 4\left( {x - 1} \right) - 4\sqrt {x - 1}  + 1 - 4x = {\left( {2\sqrt {x - 1}  - 1} \right)^2} - 4x\\
4x = 4\left( {x + 1} \right) - 4 = 4{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} - 4 = 4\left[ {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2} - 1} \right]
\end{array} \right.$
Với tất cả các hướng suy nghỉ như đã phân tích, ta sẽ đưa phương trình ban đầu về phương trình:
$\ 4\left( {\sqrt {x + 1}  - 3} \right){x^2} + \left( {13\sqrt {x + 1}  - 8} \right)x - 4\left[ {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2} - 1} \right] + {\left( {2\sqrt {x - 1}  - 1} \right)^2} = 0.$
Điều kiện bài toán: $\ x > 1$(Do x = 1 không là nghiệm của phương trình).
Đặt: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt {x + 1} \\
b = \sqrt {x - 1} \\
a,b > 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {a^2} - 1\\
4\left( {a - 3} \right){\left( {{a^2} - 1} \right)^2} + \left( {13a - 8} \right)\left( {{a^2} - 1} \right) - 4\left( {{a^2} - 1} \right) + {\left( {2b - 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right.$
$\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {a^2} - 1\\
\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {4{a^3} - 12{a^2} + 9a} \right) + {\left( {2b - 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {a^2} - 1\\
a\left( {{a^2} - 1} \right){\left( {2a - 3} \right)^2} + {\left( {2b - 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right.$
$\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {a^2} - 1\\
a\left( {{a^2} - 1} \right){\left( {2a - 3} \right)^2} = 0\\
{\left( {2b - 1} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{3}{2}\\
b = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{5}{4}.$