Sử dụng PP Lượng Giác Hóa - Chứng minh Bất Đẳng Thức.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Con sẽđỗ hỏi trên facebook Hoc24/7)
Cho các số thực $\ x,y,z \in \left( {0;1} \right),\,xy + yz + zx = 1.$
Tìm GTNN của: $\ P = \frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}}.$
Giải:
Do $\ x,y,z \in \left( {0;1} \right),\,xy + yz + zx = 1.$ Nên ta đặt $\ x = \tan \frac{A}{2};\,y = \tan \frac{B}{2};\,z = \tan \frac{C}{2}.$

Tại sao lại như vậy:
- Thứ nhất do $\ x,y,z \in \left( {0;1} \right)$ nên $\ \frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).$
- Thứ hai, trong tam giác ta hoàn toàn chứng minh được$\ \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1.$
Thật vậy: $\ \tan \frac{A}{2}\left( {\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right) = 1 - \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} \Leftrightarrow \cot \frac{A}{2} = \frac{{\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}}}{{1 - \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}}} = \tan \frac{{B + C}}{2}.$
Điều này đúng do $\ \frac{A}{2} + \frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}.$ (Công thức phụ chéo)
$\ \begin{array}{l} P = \frac{{\tan \frac{A}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{A}{2}}} + \frac{{\tan \frac{B}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{B}{2}}} + \frac{{\tan \frac{C}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{C}{2}}} = \frac{{\sin \frac{A}{2}}}{{cos\frac{A}{2}}}.\frac{{co{s^2}\frac{A}{2}}}{{\cos A}} + \frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{cos\frac{B}{2}}}.\frac{{co{s^2}\frac{B}{2}}}{{\cos B}} + \frac{{\sin \frac{C}{2}}}{{cos\frac{C}{2}}}.\frac{{co{s^2}\frac{C}{2}}}{{\cos C}}\\  = \frac{{\sin \frac{A}{2}cos\frac{A}{2}}}{{\cos A}} + \frac{{\sin \frac{B}{2}cos\frac{B}{2}}}{{\cos B}} + \frac{{\sin \frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}}{{\cos C}} = \frac{1}{2}\left( {\tan \,A + \tan \,B + \tan \,C} \right) \end{array}.$
Ta có: $\ \tan \,A + \tan \,B = \frac{{2\sin \left( {A + B} \right)}}{{cos\left( {A + B} \right) + cos\left( {A - B} \right)}} \ge \frac{{2\sin \left( {A + B} \right)}}{{cos\left( {A + B} \right) + 1}} = \frac{{4\sin \frac{{A + B}}{2}cos\frac{{A + B}}{2}}}{{2co{s^2}\frac{{A + B}}{2}}} = 2\tan \frac{{A + B}}{2}.$
Dấu "=" xảy ra khi A=B. Và tương tự ta cũng có: $\ \tan \,C + \tan {60^0} \ge 2\tan \frac{{C + {{60}^0}}}{2}.$
$\ \begin{array}{l}  \Rightarrow \tan \,A + \tan \,B + \tan \,C + \tan {60^0} \ge 2\left( {\tan \frac{{A + B}}{2} + \tan \frac{{C + {{60}^0}}}{2}} \right) \ge 4\tan \frac{{A + B + C + {{60}^0}}}{4} = 4\sqrt 3 \\  \Rightarrow P \ge \frac{1}{2}\left( {4\sqrt 3  - \sqrt 3 } \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MinP = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = y = z = \tan {30^0} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array}.$