Trong hệ trục oxy cho tam giác ABC có A(-2;-1) trực tâm H(2;1) và$\ BC = \sqrt {20} .$ Gọi B', C' là chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C . Lập phương trình đường thẳng BC , biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng x-2y-1=0; tung độ điểm M >0 và đường thẳng B'C' đi qua điểm N(3;-4).
Giải:
- Phát hiện và chứng minh yếu tố hình học cấp 2 (lớp 9):
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
BB' \bot AC\\
BC' \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BC'C} = \widehat {BB'C} = {90^0}.$
Vậy tứ giác BCC'B' nội tiếp đường tròn (M, MB).
+ Tứ giác AB'HC' nội tiếp:
Ta có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
BB' \bot AC\\
BC' \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {AC'H} = \widehat {AB'H} = {90^0}.$
Vậy tứ giác AB'HC' nội tiếp đường tròn (I, AH).
- Sử dụng kiến thức HHGT Oxy tìm ra đáp số:
+ Do M thuộc đường thẳng x-2y-1=0 nên ta gọi M(2m+1;m).
Khi đó phương trình đường tròn (M, MB) là:
$\ \left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 2m - 1} \right)^2} + {\left( {y - m} \right)^2} = 5.$
+ Ta có tâm I là trung điểm của AH nên I(0;0) và R=OH nên phương trình đường tròn AB'HC' là:
$\ \left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} = 5.$
+ Do B'C' là cát tuyến chung của 2 đường tròn nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn hệ phương trình:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2m - 1} \right)^2} + {\left( {y - m} \right)^2} = 5\\
{x^2} + {y^2} = 5
\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {2m + 1} \right)x + 2my - {m^2} - {\left( {2m + 1} \right)^2} = 0.$
Đây chính là đường thẳng đi qua B'C'. Nhưng B'C' lại đi qua N nên ta có:
$\ 6\left( {2m + 1} \right) - 8m - {m^2} - {\left( {2m + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.$
Do BC đi qua M và vuông góc với AH nên$\ {\overrightarrow n _{BC}} = \overrightarrow {AH} = \left( {2;1} \right).$
Vậy ta có 2 phương trình đường thẳng BC là: $\ \left[ \begin{array}{l}
\left( {BC} \right):2\left( {x - 3} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0\\
\left( {BC} \right):2\left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 3 = 0
\end{array} \right.$
NOTE: Cũng vận dụng kiến thức cấp 2 như trên ta có thể giải quyết được bài toán lập phương trình 3 cạnh của một tam giác biết tọa độ chân của 3 đường phân giác trong.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét