LƯỢNG GIÁC HÓA - Công cụ mạnh không kém HÀM.

Đề bài: (Đề thi thử ĐH khối A, A1 năm 2014 của Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh ngày thi 08/03/2014)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = xyz.
Chứng minh rằng: $\ xy + yz + zx \ge 3 + \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1}  + \sqrt {{z^2} + 1} .$
Giải:
Thầy xin chú ý các em khai thác các dữ kiện kiểu: $\ \left[ \begin{array}{l}
x + y + z = xyz\\
xy + yz + zx = 1
\end{array} \right.$
+ Nếu là: x + y + z = xyz thì đặt x = tanA, y = tanB, z = tanC.

Điều này có được do:
$\ \tan C =  - \tan \left( {A + B} \right) = \frac{{\tan \,A + \tan B}}{{\tan \,A\,\tan B - 1}} \Leftrightarrow \tan \,A\, + \tan B + \tan C = \tan \,A\,\tan B\tan C.$
+ Nếu xy + yz + zx = 1 thì đặt $\ x = \tan \frac{A}{2};\,y = \tan \frac{B}{2};\,z = \tan \frac{C}{2}.$
Điều này có được do:
$\ \frac{1}{{\tan \frac{A}{2}}} = \cot \frac{A}{2} = \tan \frac{{B + C}}{2} = \frac{{\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}}}{{1 - \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}}} \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1.$
Đặt x = tanA, y = tanB, z = tanC ta có:
$\ \begin{array}{l}
 - \tan \,A = \tan \left( {B + C} \right) = \frac{{\tan B + \tan C}}{{1 - \tan B\tan C}} \Leftrightarrow \tan \,A\tan B - 1 = \frac{{\tan B + \tan C}}{{\tan \,A}}\\
 \Rightarrow xy - 1 = \frac{{\tan B + \tan C}}{{\tan \,A}} = \left( {\frac{{\sin B}}{{cos\,B}} + \frac{{\sin C}}{{cos\,C}}} \right).\frac{{cos\,A}}{{\sin A}} = \frac{{\sin \left( {B + C} \right)}}{{cos\,Bcos\,C}}.\frac{{cos\,A}}{{\sin A}} = \frac{{cos\,A}}{{cos\,Bcos\,C}}
\end{array}.$
Khi đó: $\ xy + yz + zx - 3 = \left( {xy - 1} \right) + \left( {yz - 1} \right) + \left( {zx - 1} \right) = \frac{{cos\,A}}{{cos\,Bcos\,C}} + \frac{{cos\,B}}{{cos\,Ccos\,A}} + \frac{{cos\,C}}{{cos\,Acos\,B}}.$
$\ \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{y^2} + 1}  + \sqrt {{z^2} + 1}  = \sqrt {{{\tan }^2}A + 1}  + \sqrt {{{\tan }^2}B + 1}  + \sqrt {{{\tan }^2}C + 1}  = \frac{1}{{cosA}} + \frac{1}{{cosB}} + \frac{1}{{\cos C}}.$
Vậy ta cần chứng minh: $\ \frac{{cos\,A}}{{cos\,Bcos\,C}} + \frac{{cos\,B}}{{cos\,Ccos\,A}} + \frac{{cos\,C}}{{cos\,Acos\,B}} \ge \frac{1}{{cosA}} + \frac{1}{{cosB}} + \frac{1}{{\cos C}}.$
$\  \Leftrightarrow cos{\,^2}A + cos{\,^2}B + cos{\,^2}C \ge cos\,Acos\,B + cos\,Bcos\,C + cos\,Acos\,B.$
$\  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {cosA - \cos B} \right)}^2} + {{\left( {\cos B - \cos C} \right)}^2} + {{\left( {\cos C - \cos A} \right)}^2}} \right] \ge 0.$ (Luôn đúng).
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi$\ A = B = C = {60^0}$hay$\ x = y = z = \sqrt 3 .$