Bài BĐT thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2014.

Đề bài: (Bài BĐT thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2014)
Cho các số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: $\ x + 2y - z \ge 0.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\ P = \frac{x}{{10y + z}} + \frac{y}{{x + y + z}} + \frac{{x + 2y}}{{2x + 3y}}.$
Giải:
Ta có: $\ x + 2y - z \ge 0 \Leftrightarrow z \le x + 2y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z \le 2x + 3y\\
10y + z \le x + 12y
\end{array} \right.$

$ \  \Rightarrow P \ge \frac{x}{{10y + z}} + \frac{y}{{2x + 3y}} + \frac{{x + 2y}}{{2x + 3y}} = \frac{x}{{x + 12y}} + \frac{{x + 3y}}{{2x + 3y}} = \frac{{\frac{x}{y}}}{{\frac{x}{y} + 12}} + \frac{{\frac{x}{y} + 3}}{{2\frac{x}{y} + 3}}.$
$\  = \frac{t}{{t + 12}} + \frac{{t + 3}}{{2t + 3}} = f\left( t \right)\left( {t = \frac{x}{y} > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {4t + 6} \right)^2} = {\left( {t + 12} \right)^2}\\
t > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 2.$
Vậy $\ Min\,P = Min\,f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = \frac{2}{{14}} + \frac{5}{7} = \frac{6}{7} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{y} = 2\\
x + 2y - z = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x:y:z = 2:1:4.$