Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$\ Hmath = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }}.$
Giải:
Hướng dẫn tư duy: Các bạn thấy vai trò của x, y, z trong điều kiện và trong biểu thức hoàn toàn như nhau.Ta giả sử x = y = z và ta tìm được x = y = z = 1 và dự đoán Min (Hmath) = 1.
Ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức để dấu "=" xảy ra với x = y = z = 1.
Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi cho hai số ta có:
$\ \sqrt {{x^3} + 8} = \sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \le \frac{{x + 2 + {x^2} - 2x + 4}}{2} = \frac{{{x^2} - x + 6}}{2}.$
$\ \Rightarrow Hmath \le 2\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}} \right).$
Lại áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
$\ \begin{array}{l}
{\left( {x + y + z} \right)^2} = {\left( {\sqrt {{x^2} - x + 6} .\frac{x}{{\sqrt {{x^2} - x + 6} }} + \sqrt {{y^2} - y + 6} \frac{y}{{\sqrt {{y^2} - y + 6} }} + \sqrt {{z^2} - z + 6} \frac{z}{{\sqrt {{z^2} - z + 6} }}} \right)^2}\\
\le \left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}} \right)\left[ {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \left( {x + y + z} \right) + 18} \right]
\end{array}.$
$\ \Rightarrow Hmath \le \frac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - \left( {x + y + z} \right) + 18}} = \frac{{2{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2} - \left( {x + y + z} \right) + 12}} = \frac{{2{t^2}}}{{{t^2} - t + 12}} = f\left( t \right).$
Lại áp dụng Côsi ta thấy:$\ \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} \ge 2xy\\
{y^2} + {z^2} \ge 2yz\\
{z^2} + {x^2} \ge 2zx
\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx.$
$\ \Rightarrow {t^2} = {\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right) \ge 3\left( {xy + yz + zx} \right) = 9 \Leftrightarrow t \ge 3.$
Ta có: $\ f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 2t\left( {t - 24} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 24.$
Lập bảng xét dấu ta thấy: $\ f\left( 3 \right) = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{2{t^2}}}{{{t^2} - t + 12}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{2}{{1 - \frac{1}{t} + \frac{{12}}{{{t^2}}}}} = 2 > 1 \Rightarrow Min\left( {Hmath} \right) = Min\,f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 1.$
Vậy Min (Hmath) = 1. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét