Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{2} - 8{y^2} + \frac{1}{y} - \frac{4}{x} = 3x - \sqrt {x - 1} - 12y + 2\sqrt {y - \frac{1}{4}} \,\,\left( 1 \right)\\ {x^2} + {y^2} - 4xy - y - 2 = 0\,\,\left( 2 \right)\,\,\, \end{array} \right.$

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Như Mập Hà hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{2} - 8{y^2} + \frac{1}{y} - \frac{4}{x} = 3x - \sqrt {x - 1}  - 12y + 2\sqrt {y - \frac{1}{4}} \,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} + {y^2} - 4xy - y - 2 = 0\,\,\left( 2 \right)\,\,\,
\end{array} \right.$
Giải:
Điều kiện: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
y \ge \frac{1}{4}
\end{array} \right.$
Xét phương trình (1) ta có: $\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 16{y^2}}}{2} + \frac{{x - 4y}}{{xy}} = 3\left( {x - 4y} \right) - \left( {\sqrt {x - 1}  - \sqrt {4y - 1} } \right).$

$\  \Leftrightarrow \left( {x - 4y} \right)\left( {\frac{{x + 4y}}{2} + \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4y - 1} }} - 3} \right) = 0.$
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
$\ \frac{{x + 4y}}{2} + \frac{1}{{xy}} = \frac{x}{2} + 2y + \frac{1}{{xy}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{x}{2}.2y.\frac{1}{{xy}}}} = 3 \Rightarrow \frac{{x + 4y}}{2} + \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4y - 1} }} > 3.$
$\  \Rightarrow \frac{{x + 4y}}{2} + \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4y - 1} }} - 3 > 0 \Rightarrow x - 4y = 0 \Leftrightarrow x = 4y.$
Thế vào (2) ta có: $\ \left( 2 \right) \Leftrightarrow {y^2} - y - 2 = 0 \Leftrightarrow y = 2\left( {y \ge \frac{1}{4}} \right) \Rightarrow x = 8\, \Rightarrow S = \left\{ {\left( {8;2} \right)} \right\}.$