Thi thử là TỐT nhưng đừng quá ẢO TƯỞNG về kỳ thi thật.

Đề bài: (Bài BĐT thi thử ĐH lần thứ 15 của Moon.vn làm học sinh ảo tưởng về kỳ thi thật)
Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: ab + a + b = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $\ P = \frac{{4a}}{{b + 1}} + \frac{{4b}}{{a + 1}} + 2ab - \sqrt {7 - 3ab} .$
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
$\ 3 = ab + a + b \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} + \left( {a + b} \right) \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} + 4\left( {a + b} \right) - 12 \ge 0.$
$\  \Leftrightarrow \left( {a + b - 2} \right)\left( {a + b + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le a + b < 3.$

$\ \begin{array}{l}
P = 4.\left[ {\frac{{a\left( {a + 1} \right) + b\left( {b + 1} \right)}}{{ab + a + b + 1}}} \right] + 2ab - \sqrt {7 - 3\left[ {3 - \left( {a + b} \right)} \right]} \\
 = {\left( {a + b} \right)^2} + \left( {a + b} \right) - \sqrt {3\left( {a + b} \right) - 2}  = {t^2} + t - \sqrt {3t - 2} \left( {t = a + b,t \in \left[ {2;3} \right)} \right)
\end{array}.$
$\  \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t + 1 - \frac{3}{{2\sqrt {3t - 2} }}.$
Do $\ \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \ge 2 \Rightarrow 2t + 1 \ge 5}\\
{t \ge 2 \Rightarrow \sqrt {3t - 2}  \ge 2 \Rightarrow  - \frac{3}{{2\sqrt {3t - 2} }} \ge  - \frac{3}{2}}
\end{array}} \right. \Rightarrow f'\left( t \right) \ge 5 - \frac{3}{2} > 0.$ Khi đó f(t) đồng biến.
Vậy $\ Min\,P = f\left( 2 \right) = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
a + b = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1.$

NOTE:
Moon.vn đang biến học sinh thành như thế!
Các em hãy nhớ rằng....
Thi thử tổng điểm luôn luôn thấp hơn thi thật.
Nghĩa là mức độ đề chỉ có thể khó hơn hoặc bằng thi thật.
Không dễ như Moon.vn vẫn cho các em làm.