Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên tia Ax và Cy cùng phía và vuông góc với (P) lần lượt lấy các điểm M, N sao cho CN = a, AM = x (0<x<a).
Chứng minh rằng: $\ BD \bot \left( {ACNM} \right).$
Tính x để thể tích tứ diện BDMN là $\ \frac{{{a^3}}}{4}.$
Giải:
$\ Ax \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AM \bot BD\left( 1 \right).$ $\ BD \bot AC;\,AC,AM \subset \left( {ACNM} \right)\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có $\ BD \bot \left( {ACNM} \right).$
- Tìm x:
Ta có: $\ {V_{MNABCD}} = {V_{B.ACNM}} + {V_{D.ACNM}} = 2{V_{B.ACNM}}.$
(Do $\ \left\{ \begin{array}{l}
BD \bot \left( {ACNM} \right)\\
OB = OD
\end{array} \right. \Rightarrow {V_{B.ACNM}} = {V_{D.ACNM}}.$)
Mà $\ {V_{MNABCD}} = {V_{M.ABD}} + {V_{BDMN}} + {V_{N.BCD}} \Rightarrow {V_{BDMN}} = 2{V_{B.ACNM}} - \left( {{V_{M.ABD}} + {V_{N.BCD}}} \right).$
Mà ta có: $\ {V_{B.ACNM}} = \frac{1}{3}BO.{S_{ACNM}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}.a\sqrt 2 .\frac{{a + x}}{2} = \frac{{{a^2}\left( {a + x} \right)}}{3}.$
Và $\ {V_{M.ABD}} = \frac{1}{3}AM.{S_{\Delta ABD}} = \frac{x}{3}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}x}}{6};\,\,{V_{N.BCD}} = \frac{1}{3}CN.{S_{\Delta BCD}} = \frac{a}{3}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}.$
$\ \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{4} = \frac{{{a^2}\left( {a + x} \right)}}{3} \Leftrightarrow \frac{a}{4} = \frac{{x + a}}{6} \Leftrightarrow 3a = 2x + 2a \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}.$
Note:
Bài toán còn 2 phương pháp nữa là tính trực tiếp và gắn tọa độ vào để giải. Các em tham khảo thêm nhé!
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét