Bất đẳng thức Cauchy
\forall x, y \geq 0 ta có : \dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y.
\forall x, y, z \geq 0 ta có : \dfrac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{xyz}. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z.
*Chú ý, trong thực tế ta thường dùng dưới dạng x+y\geq 2\sqrt{xy} và x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}.
Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Sử dụng dạng : x+y\geq 2\sqrt{xy} hoặc x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}.
Ví dụ 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.
Giải.
Ta có a+b\geq 2\sqrt{ab}. Đẳng thức xảy ra khi a=b.
b+c\geq 2\sqrt{bc}. Đẳng thức xảy ra khi b=c.
c+a\geq 2\sqrt{ca}. Đẳng thức xảy ra khi c=a.
Suy ra (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c, hay ABC là tam giác đều.
Ví dụ 2. Cho x>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+\dfrac{1}{x}.
Giải
Với mọi x>0 ta có x+\dfrac{1}{x}\geq 2\sqrt{x\cdot \dfrac{1}{x}}=2. Đẳng thức xảy ra khi x=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=1\quad (\text{do}\,\, x>0).
Vậy \displaystyle\underset{x>0}\min y =2.
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+\dfrac{1}{x^2} với x>0.
Giải
Ta có y=x+x+\dfrac{1}{x^2}\geq 3\sqrt[3]{x.x.\dfrac{1}{x^2}}=3. Đẳng thức xảy ra khi x=x=\frac{1}{x^2}\Leftrightarrow x^3=1 \Leftrightarrow x=1.
Vậy \displaystyle\underset{x>0} \min y =3.
Ví dụ 4. Cho 0 < b < a. Chứng minh rằng a+\dfrac{1}{(a-b)b}\geq 3.
Giải
Ta có a+\dfrac{1}{(a-b)b}=(a-b)+b+\dfrac{1}{(a-b)b}\geq 3\sqrt[3]{(a-b)b\dfrac{1}{(a-b)b}}=3. Đẳng thức xảy ra khi a-b=b=\dfrac{1}{(a-b)b}\Leftrightarrow \begin{cases}a-b=b\\b=\dfrac{1}{(a-b)b}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=2b\\b^3=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}.
Bài tập
1) Với mọi x, y, z > 0. Chứng minh rằng (x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\geq 4. \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geq \dfrac{9}{x+y+z}.
2) Chứng minh rằng \dfrac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\geq 2. Đẳng thức xảy ra khi nào?
3) Cho a, b, c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng \left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)\geq 8.
4) Cho a, b > 0 và a+b=1. Chứng minh rằng \left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\geq 9.
5) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a).
6) Cho a, b, c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng (1+a)(1+b)(1+c)\geq 8(1-a)(1-b)(1-c).
------Cứ mỗi giáo viên tha hóa biến chất thì đâu đó vẫn có những con người tận tâm tận lực và hết lòng vì học sinh------==============Bị chối bỏ, Tôi quyết tâm trở thành người thầy mà tôi chưa bao giờ có được!==============
Lịch sử các nhà toán học
Đăng ký:
Đăng Nhận xét (Atom)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét