Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $\ \sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{8 + x}} = m.$
Giải:
Bài toán có 2 hướng giải cùng dẫn đến một kết quả như sau:
Cách 1: (PP dùng hàm giải trực tiếp)
Đặt $\ f\left( x \right) = \sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{8 + x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {8 + x} \right)}^2}}}}} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8 + x = 8 - x\\
8 + x = x - 8
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.$
Mặt khác, $\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\sqrt[3]{{8 - x}} + \sqrt[3]{{8 + x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{16}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}} - \sqrt[3]{{64 - {x^2}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {8 + x} \right)}^2}}}}} = 0.$
Vậy với $\ 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) < m \le f\left( 0 \right) = 4 \Leftrightarrow m \in \left( {0;4} \right].$ thì PT đã cho có nghiệm.
Cách 2: (PP dùng hệ + tam thức bậc hai giải gián tiếp)
Đặt$\ \left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt[3]{{8 - x}}\\
b = \sqrt[3]{{8 + x}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = m\\
{a^3} + {b^3} = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = m\\
{\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = m\\
3mab = {m^3} - 16
\end{array} \right.$
- Xét $\ m = 0 \Rightarrow a = - b \Leftrightarrow {a^3} = - {b^3} \Leftrightarrow 8 + x = x - 8.$ (Vô lý).
- Xét $\ m \ne 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = m\\
ab = \frac{{{m^3} - 16}}{{3m}}
\end{array} \right.$
Ta luôn có: $\ {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab \Leftrightarrow {m^2} \ge \frac{{4\left( {{m^3} - 16} \right)}}{{3m}} \Leftrightarrow \frac{{{m^3} - 64}}{{3m}} \le 0 \Leftrightarrow 0 < m \le 4.$
Vậy với $\ 0 < m \le 4$ thì thỏa mãn bài toán.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét