Đề bài:
a) CMR: Với hai số thực không âm a, b ta luôn có \ \sqrt {1 + a} + \sqrt {1 + b} \ge 1 + \sqrt {1 + a + b} .
b) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện\ \sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt {1 + 2y} + \sqrt {1 + 2z} = 5.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \ M = 2{x^3} + {y^3} + {z^3}.
Giải:
a) Với bài này các bạn chỉ cần biến đổi tương đương rất đơn giản thôi.
\ \sqrt {1 + a} + \sqrt {1 + b} \ge 1 + \sqrt {1 + a + b} \Leftrightarrow 2 + a + b + 2\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} \ge 2 + a + b + 2\sqrt {1 + a + b} .
\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} \ge \sqrt {1 + a + b} \Leftrightarrow 1 + a + b + ab \ge 1 + a + b \Leftrightarrow ab \ge 0\left( * \right).
(*) luôn đúng vì a, b không âm. Do đó BĐT đã cho luôn đúng.
b) Áp dụng BĐT ở câu a ta có:
\ 5 = \sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt {1 + 2y} + \sqrt {1 + 2z} \ge 1 + \sqrt {1 + 2\left( {y + z} \right)} + \sqrt {1 + {x^2}} \ge 1 + 1 + \sqrt {1 + {x^2} + 2\left( {y + z} \right)} .
\ \Leftrightarrow \sqrt {1 + {x^2} + 2\left( {y + z} \right)} \le 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {y + z} \right) \le 8 \Leftrightarrow 0 \le y + z \le \frac{{8 - {x^2}}}{2} \Leftrightarrow x \in \left[ {0;2\sqrt 2 } \right].
\ M = 2{x^3} + {y^3} + {z^3} = 2{x^3} + {\left( {y + z} \right)^3} - 3yz\left( {y + z} \right) \le 2{x^3} + {\left( {y + z} \right)^3} \le 2{x^3} + \frac{{{{\left( {8 - {x^2}} \right)}^3}}}{8} = f\left( x \right).
\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 6x\left[ {x - \frac{{{{\left( {8 - {x^2}} \right)}^2}}}{8}} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
8x - {\left( {8 - {x^2}} \right)^2} = 0\left( 1 \right)
\end{array} \right.
Xét: \ g\left( x \right) = 8x - {\left( {8 - {x^2}} \right)^2} \Rightarrow g'\left( x \right) = 8 + 4x\left( {8 - {x^2}} \right) \ge 8 > 0,\forall x \in \left[ {0;2\sqrt 2 } \right]. Vậy g(x) đồng biến.
Khi đó g(x) = 0 có nghiệm duy nhất, mà ta lại có g(2)=2 nên g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 2.
Do \ f\left( 0 \right) = 64;\,f\left( 2 \right) = 24;f\left( {2\sqrt 2 } \right) = 16 \Rightarrow Max\,M = Max\,f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 64.
Dấu "=" xảy ra \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
yz = 0\\
5 = \sqrt {1 + {x^2}} + \sqrt {1 + 2y} + \sqrt {1 + 2z}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = 0;\,z = 4\\
x = 0;\,y = 4;\,z = 0
\end{array} \right..
Note: Đề thi kiểu này trường ĐH Bách Khoa Hà Nội đã từng ra, khi còn thi theo đề riêng.
Bây giờ Bách Khoa Hà Nội lại thi đề riêng...Các em chú ý nhé!
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét