Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
abc = 1
\end{array} \right.$. Tìm Min của: $\ P = \frac{1}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}.$
Giải:
Ta có: $\ P = \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{a^2}\left( {b + c} \right)}} + \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{b^2}\left( {c + a} \right)}} + \frac{{{{\left( {abc} \right)}^2}}}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {bc} \right)}^2}}}{{b + c}} + \frac{{{{\left( {ca} \right)}^2}}}{{c + a}} + \frac{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}{{a + b}}.$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxkia ta có:
$\ {\left( {\sqrt {b + c} .\frac{{bc}}{{\sqrt {b + c} }} + \sqrt {c + a} .\frac{{ca}}{{\sqrt {c + a} }} + \sqrt {a + b} .\frac{{ab}}{{\sqrt {a + b} }}} \right)^2} \le 2\left( {a + b + c} \right)P \Leftrightarrow P \ge \frac{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}}.$
Mà $\ \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {ab + bc + ca} \right)^2} = {\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} + 2abc\left( {a + b + c} \right)\\
{\left( {ab} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {ca} \right)^2} \ge abc\left( {a + b + c} \right)\left( {Do\,{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx} \right)
\end{array} \right.$
$\ \Rightarrow {\left( {ab + bc + ca} \right)^2} \ge 3abc\left( {a + b + c} \right) \Rightarrow P \ge \frac{{3abc\left( {a + b + c} \right)}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \frac{3}{2} \Rightarrow Min\,P = \frac{3}{2}.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b= c = 1.
Mở rộng:Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $\ \left\{ \begin{array}{l}
a,b,c > 0\\
abc = 1
\end{array} \right.$. CMR: $\ \frac{1}{{{a^{2014}}\left( {b + c} \right)}} + \frac{1}{{{b^{2014}}\left( {c + a} \right)}} + \frac{1}{{{c^{2014}}\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{3}{2}.$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét