GIẢI HỆ không đơn thuần chỉ là "HÀM ĐẶC TRƯNG"

Đề bài: (Đề thi thử ĐH khối A, A1 năm 2014 của Sở GD&ĐT tỉnh Bắc Ninh ngày thi 08/03/2014)
Giải hệ phương trình: $\ \left\{ \begin{array}{l}
x{y^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} \right) = 3\sqrt {{y^2} + 9}  + 3y\,\,\,(1)\\
\left( {3x - 1} \right)\sqrt {{x^2}y + xy - 5}  - 4{x^3} + 3{x^3}y - 7x = 0\,\,\,(2)
\end{array} \right.\left( {x;y \in R} \right).$
Giải: Bài toán gồm 2 công đoạn là (Dùng hàm đặc trưng quy về một biến + Liên hợp để có thừa số chung)
- Dùng hàm đặc trưng quy về một biến:
Do y = 0 không là nghiệm nên ta chia cả 2 vế của (1) cho $y^2$ ta được:
$\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow x\left( {\sqrt {{x^2} + 1}  + 1} \right) = \frac{3}{{{y^2}}}\sqrt {{y^2} + 9}  + \frac{{3y}}{{{y^2}}}\, \Leftrightarrow x\sqrt {{x^2} + 1}  + x = \frac{3}{y}\sqrt {{{\left( {\frac{3}{y}} \right)}^2} + 1}  + \frac{3}{y}.$

Xét hàm: $\ f\left( t \right) = t\sqrt {{t^2} + 1}  + t \Rightarrow f'\left( t \right) = \sqrt {{t^2} + 1}  + \frac{{{t^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} + 1 > 0,\forall t \Rightarrow $ f(t) luôn đồng biến.
Khi đó: $\ f\left( x \right) = f\left( {\frac{3}{y}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{3}{y} \Leftrightarrow xy = 3.$ Đem thế vào (2) ta có:
- Liên hợp để có thừa số chung
Đem thế xy = 3 vào (2) ta có:
$\begin{array}{l}
\:\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\sqrt {3x - 2}  - 4{x^3} + 9{x^2} - 7x = 0 \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\sqrt {3x - 2}  - x\left( {3x - 1} \right) - 4{x^3} + 12{x^2} - 8x = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {\sqrt {3x - 2}  - x} \right) - 4x\left( {{x^2} - 3x + 2} \right){\mkern 1mu}  = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 3x + 2} \right){\mkern 1mu}  + \frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}{{\sqrt {3x - 2}  + x}} = 0}\\
{ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {4x + \frac{{3x - 1}}{{\sqrt {3x - 2}  + x}}} \right) = 0\left( {Do\,3x - 2 \ge 0 \Rightarrow 3x - 1 = 3x - 2 + 1 \ge 1} \right)}
\end{array}.\\
 \Rightarrow 4x + \frac{{3x - 1}}{{\sqrt {3x - 2}  + x}} > 0 \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)}\\
{x = 2 \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {2;\frac{3}{2}} \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}.$