CT tỉ số trong hình không gian.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Dương Minh hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm của đáy ABC. Một mặt phẳng (P) lưu động cắt 3 cạnh bên tại A', B', C' và cắt SG tại G'. Chứng minh rằng:$\frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{{3SG}}{{SG'}}.$
Giải:

Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C' ta thấy:
\[\begin{array}{l}
\frac{{\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{dt(SA'G')}}{{dt(SAG)}} = \frac{{dt(SA'G')}}{{\frac{2}{3}dt(SAM)}} = \frac{{SA'.SG'}}{{SA.SG}} \Rightarrow \frac{{dt(SA'G')}}{{dt(SAM)}} = \frac{{2SA'.SG'}}{{3SA.SG}}\left( 1 \right)\\
\frac{{dt(SG'M')}}{{dt(SGM)}} = \frac{{dt(SG'M')}}{{\frac{1}{3}dt(SGM)}} = \frac{{SG'.SM'}}{{SG.SM}} \Rightarrow \frac{{dt(SG'M')}}{{dt(SAM)}} = \frac{{SG'.SM'}}{{3SG.SM}}\left( 2 \right)
\end{array} \right.}}{{\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{dt(SA'G') + dt(S'G'M')}}{{dt(SAM)}} = \frac{{dt(SA'M')}}{{dt(SAM)}} = \frac{{SG'}}{{3SG}}\left( {\frac{{2SA'}}{{SA}} + \frac{{SM'}}{{SM}}} \right) = \frac{{SA'.SM'}}{{SA.SM}}}}\\
\frac{{dt(SB'M')}}{{dt(SBC)}} + \frac{{dt(SM'C')}}{{dt(SBC)}} = \frac{{dt(SB'C')}}{{dt(SBC)}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\frac{{dt(SB'M')}}{{dt(SBM)}} + \frac{{dt(SM'C')}}{{dt(SMC)}}} \right] = \frac{{dt(SB'C')}}{{dt(SBC)}}\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\frac{{SB'.SM'}}{{SB.SM}} + \frac{{SM'.SC'}}{{SM.SC}}} \right) = \frac{{SB'.SC'}}{{SB.SC}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{{SM'}}{{SM}}\left( {\frac{{SB'}}{{SB}} + \frac{{SC'}}{{SC}}} \right) = \frac{{SB'.SC'}}{{SB.SC}}.\,\,\\
Coi:\,\frac{{SA'}}{{SA}} = a,\frac{{SB'}}{{SB}} = b,\frac{{SC'}}{{SC}} = c \Rightarrow \frac{1}{2}\frac{{SM'}}{{SM}}(b + c) = bc \Leftrightarrow \frac{{SM'}}{{SM}} = \frac{{2bc}}{{b + c}}\\
 \Rightarrow \frac{{SG'}}{{3SG}}(2a + \frac{{2bc}}{{b + c}}) = \frac{{2abc}}{{b + c}} \Leftrightarrow \frac{{SG'}}{{3SG}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Leftrightarrow \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{{3SG}}{{SG'}}
\end{array}\]