Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. SA vuông góc với đáy ABC và SA=a. Gọi M và E lần lượt là trung điểm của SC và AB. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (MAB).
Giải:
Bài toán hoàn toàn được giải quyết nhanh gọn nếu các bạn học sinh mà cô Lý đang dạy đã học lớp 12.
Vì khi đó chúng ta còn 2 công cụ là ĐỔI ĐỈNH (Có ứng dụng tỉ số thể tích) và GẮN TOẠ ĐỘ OXYZ.
Nhưng do học sinh đang học 11 nên ta chỉ có thể dùng PP ĐỔI ĐIỂM như sau:
\left\{ \begin{array}{l}
SC \cap \left( {MAB} \right) = M\\
MS = MC
\end{array} \right.\\
\Rightarrow d\left( {S \to (MAB)} \right) = d\left( {C \to (MAB)} \right)
\end{array}.$
Gọi P là trung điểm của AC ta có:
$\ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
CP \cap \left( {MAB} \right) = A\\
AP = CP
\end{array} \right.\\
\Rightarrow d\left( {C \to (MAB)} \right) = 2d\left( {P \to (MAB)} \right)
\end{array}.$
Gọi N là trung điểm của AE, khi đó PN là đường trung bình của tam giác ACE nên:$\ \left\{ \begin{array}{l}
NP//CE\\
CE \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow NP \bot AB\left( 1 \right).$
Mà MP là đường trung bình của tam giác SAC nên ta có:
$\ \left\{ \begin{array}{l}
MP//SA\\
SA \bot \left( {ABC} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow MP \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow MP \bot AB\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) ta có $\ AB \bot \left( {MNP} \right).$
Trong (MNP) dựng $\ PH \bot MN\left( {H \in MN} \right) \Rightarrow PH \bot \left( {MAB} \right) \Rightarrow PH = d\left( {P \to (MAB)} \right).$\[\begin{array}{l}
Do\,MP \bot NP \Rightarrow \frac{1}{{H{P^2}}} = \frac{1}{{N{P^2}}} + \frac{1}{{N{P^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{CE}}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}}\\
\Rightarrow HP = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow d\left( {S \to (MAB)} \right) = d\left( {C \to (MAB)} \right) = 2HP = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}
\end{array}\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét