BI ẨN TUYỆT ĐẸP qua một bài toán tổng quát.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Hiếu Minh Nguyễn hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Xác định dạng của tâm giác ABC biết rằng:$\frac{{cosA}}{3} + \frac{{cos\,B}}{4} + \frac{{cos\,C}}{5} = \frac{5}{{12}}.$
Giải:
Đây là một bài toán rất hay, trước khi có tính nhất này ta sẽ thấy xuất hiện một đẳng thức rất đẹp liên quan đến bộ số Pitago (3,4,5). Nhưng trước hết thầy phát biểu vầ chứng minh một bài toán tổng quát hơn như sau:
$CMR:{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 2xy\,\cos C + 2yz\,cos\,A + 2zx\,cos\,B\left( * \right)\,.\,\forall \Delta ABC\& x,y,z \in R.$Thật vậy:
\[\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy\,\cos C - 2yz\,cos\,A - 2zx\,cos\,B \ge 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x\left( {y\cos C + z\cos B} \right) + {y^2}\left( {si{n^2}B + co{s^2}B} \right) + {z^2}\left( {si{n^2}C + co{s^2}C} \right) + 2yzcos\left( {B + C} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x\left( {y\cos C + z\cos B} \right) + \left( {{y^2}co{s^2}B + {z^2}co{s^2}C} \right) + \left( {{y^2}si{n^2}B + {z^2}si{n^2}C} \right) + 2yzcos\left( {B + C} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x\left( {y\cos C + z\cos B} \right) + {\left( {y\cos C + z\cos B} \right)^2} + \left( {{y^2}si{n^2}B - 2yz\sin B\sin C + {z^2}si{n^2}C} \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow {\left[ {x - \left( {y\cos C + z\cos B} \right)} \right]^2} + {\left( {y\sin B - z\sin C} \right)^2} \ge 0\left( {**} \right)
\end{array}\]Do (**) luôn đúng nên (*) luôn đúng. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y\cos C + z\cos B\\
y\sin B - z\sin C = 0
\end{array} \right.$Quay trở lại bài toán, ta hoàn toàn có thể tính toán ra x, y, z để ép từ tổng quát vào bài này. Và ta có cách giải như sau:\[\begin{array}{l}
\frac{{cosA}}{3} + \frac{{cos\,B}}{4} + \frac{{cos\,C}}{5} = \frac{5}{{12}} \Leftrightarrow 20\,cosA + 15\cos B + 12\cos C = 25 \Leftrightarrow 40\,cosA + 30\cos B + 24\cos C = 50\\
 \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} + {5^2} = 2.4.5\,cosA + 2.3.5\cos B + 2.3.4\cos C\\
 \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} + {5^2} - 2.4.5\,cosA - 2.3.5\cos B - 2.3.4\cos C = 0\\
 \Leftrightarrow {3^2} - 2.3\left( {4\cos C + 5\cos B} \right) + {5^2}\left( {si{n^2}B + co{s^2}B} \right) + {4^2}\left( {si{n^2}C + co{s^2}C} \right) + 2.4.5cos\left( {B + C} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {3^2} - 2.3\left( {4\cos C + 5\cos B} \right) + \left( {{4^2}{{\cos }^2}C + 2.4.5\cos B\cos C + {5^2}{{\cos }^2}B} \right) + {\left( {4\,sinC - 5sin\,B} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow {3^2} - 2.3\left( {4\cos C + 5\cos B} \right) + {\left( {4\cos C + 5\cos B} \right)^2} + {\left( {4\,sinC - 5sin\,B} \right)^2} = 0\\
 \Leftrightarrow {\left[ {3 - \left( {4\cos C + 5\cos B} \right)} \right]^2} + {\left( {4\,sinC - 5sin\,B} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4\cos C + 5\cos B = 3\\
\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{4}{5}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4\cos C + \frac{{4\sin C}}{{\sin B}}.\cos B = 3\\
\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4\frac{{\sin B\cos C + \sin C\cos B}}{{\sin B}} = 3\\
\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sin \left( {B + C} \right)}}{{\sin B}} = \frac{3}{4}\\
\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{4}{5}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sin A}}{{\sin B}} = \frac{3}{4}\\
\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{\sin A}}{3} = \frac{{\sin B}}{4} = \frac{{\sin C}}{5} \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{{16}} = \frac{{{c^2}}}{{25}} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{25}} = \frac{{{c^2}}}{{25}}\\
 \Leftrightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow \Delta ABC:AB \bot AC
\end{array}\]