Mỗi ngày một tính chất Oxy.

Đề bài: (Câu hỏi của bạn Nguyễn Văn Dư hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)
Cho tam giác ABC vuông tai A, 2 điểm B,C đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Phương trình đường phân giác góc trong góc B là d:x+2y-5=0 và điểm K(6;2) thuộc AC. Tìm tọa độ các đỉnh A B C?
Giải:
Gọi D là điểm đối xứng với O qua phân giác d khi đó ta dễ chứng minh được D thuộc AB.

$\begin{array}{l}
Coi\,D\left( {a;b} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {OD} .{\overrightarrow u _d} = 0\left( {OD \bot d} \right)\\
M\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2}} \right) \in d
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2b = 10\\
2a - b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow D\left( {2;4} \right)\\
Coi\,B\left( {5 - 2b;b} \right) \in d \Rightarrow C\left( {2b - 5; - b} \right)\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {KC}  = \left( {2b - 11; - b - 2} \right)\\
\overrightarrow {DB}  = \left( {3 - 2b;b - 4} \right)
\end{array} \right.\\
Do\,\left\{ \begin{array}{l}
KC \equiv AC,\,DB \equiv AB\\
AB \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow DB \bot KC\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {KC}  = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 6b + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 1\\
b = 5
\end{array} \right.
\end{array}.$
\[\begin{array}{l}
 \bullet b = 1 \Rightarrow B\left( {3;1} \right) \Rightarrow C\left( { - 3; - 1} \right)\\
\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {KC}  = \left( { - 9; - 3} \right) \uparrow  \uparrow \left( {3;1} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{AC}} = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow AC:x - 3y = 0\\
\overrightarrow {DB}  = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{AB}} = \left( {3;1} \right) \Rightarrow AC:3x + y - 10 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;1} \right) \equiv B\,\left( {Loai} \right)\\
 \bullet b = 5 \Rightarrow B\left( { - 5;5} \right) \Rightarrow C\left( {5; - 5} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {KC}  = \left( {-1; - 7} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{AC}} = \left( {7;-1} \right) \Rightarrow AC:7x - y - 40 = 0\\
\overrightarrow {DB}  = \left( { - 7;1} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{AB}} = \left( {1;7} \right) \Rightarrow AC:x + 7y - 30 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{{31}}{{5}};\frac{{17}}{{5}}} \right)
\end{array}\]