Giải:
Áp dụng Bất Đẳng Thức quen thuộc \ \left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\left( {x = y} \right) ta có:
begin{array}{l} \dfrac{{\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{{a + 3b}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}} \ge \dfrac{4}{{2a + 4b + 2c}} = \dfrac{2}{{a + 2b + c}}\\ \dfrac{1}{{b + 3c}} + \dfrac{1}{{2a + b + c}} \ge \dfrac{4}{{2a + 2b + 4c}} = \dfrac{2}{{a + b + 2c}}\\ \dfrac{1}{{c + 3a}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} \ge \dfrac{4}{{4a + 2b + 2c}} = \dfrac{2}{{2a + b + c}} \end{array} \right.}}{{ \Rightarrow V{T_{\left( * \right)}} + \left( {\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}}} \right) \ge 2\left( {\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}}} \right)}}\,\\ \Leftrightarrow V{T_{\left( * \right)}} \ge \dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}} = \frac{1}{{a + 3}} + \dfrac{1}{{b + 3}} + \dfrac{1}{{c + 3}} = V{P_{\left( * \right)}}\, \end{array}Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét