Một bất đẳng thức đẹp...

Đề bài: (Câu hỏi của cô Phạm Thiên Lý hỏi trên facebook Trợ Giúp Toán Học)\[Cho\,\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = 3\\
a,b,c > 0
\end{array} \right..\,CMR:\frac{1}{{a + 3b}} + \frac{1}{{b + 3c}} + \frac{1}{{c + 3a}} \ge \frac{1}{{a + 3}} + \frac{1}{{b + 3}} + \frac{1}{{c + 3}}\left( * \right)\,\]
Giải:
Áp dụng Bất Đẳng Thức quen thuộc $\ \left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\left( {x = y} \right)$ ta có:
$begin{array}{l}
\dfrac{{\left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{{a + 3b}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}} \ge \dfrac{4}{{2a + 4b + 2c}} = \dfrac{2}{{a + 2b + c}}\\
\dfrac{1}{{b + 3c}} + \dfrac{1}{{2a + b + c}} \ge \dfrac{4}{{2a + 2b + 4c}} = \dfrac{2}{{a + b + 2c}}\\
\dfrac{1}{{c + 3a}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} \ge \dfrac{4}{{4a + 2b + 2c}} = \dfrac{2}{{2a + b + c}}
\end{array} \right.}}{{ \Rightarrow V{T_{\left( * \right)}} + \left( {\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}}} \right) \ge 2\left( {\dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}}} \right)}}\,\\
 \Leftrightarrow V{T_{\left( * \right)}} \ge \dfrac{1}{{2a + b + c}} + \dfrac{1}{{a + 2b + c}} + \dfrac{1}{{a + b + 2c}} = \frac{1}{{a + 3}} + \dfrac{1}{{b + 3}} + \dfrac{1}{{c + 3}} = V{P_{\left( * \right)}}\,
\end{array}$Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.